第7章 7.2.2 复数的乘、除运算-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

7.2.2　复数的乘、除运算 学习任务目标 　　1.掌握复数乘除运算法则，能进行复数的乘除运算． 　　2.掌握i幂值的周期性，能进行相关运算. (1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ≥0时，x＝；Δ<0时，没有实数根. (2)复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d为实数)当且仅当a＝c且b＝d时相等． 知识点一　复数的乘法及其运算律 1．复数代数形式的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 [微训练] i(1－2i)＝(　　) A．1－2i B.1＋2i C．－2＋i D.2＋i D　解析：i(1－2i)＝i－2i2＝2＋i. 知识点二　复数除法的法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． [微训练] ＝1－i. 解析：＝＝＝1－i. 复数的乘法运算 1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　) A．2－13i B．13＋2i C．13－13i D．－13－2i D　解析：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D. 2．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) C　解析：A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝2i，是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C. 3．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于(　　) A．1 B．－1 C. D．－ B　解析：∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，∴m3＋1＝0，即m＝－1. 复数的除法运算 【例1】＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i D　解析：＝＝＝－i.故选D. 【例2】若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为(　　) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i A　解析：∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝＝＝＝3＋5i. 【例3】满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　) A．＋i B．－i C．－＋i D．－－i B　解析：因为＝i，所以z＋i＝zi.所以i＝z(i－1)．所以z＝＝＝＝－i. 【类题通法】 1．复数的除法运算的步骤 (1)将除式写为分式； (2)将分子、分母同乘分母的共轭复数； (3)将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化简． 2．常用公式 (1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i. 1．设复数z＝，则|z|＝(　　) A．2 B．1 C． D． C　解析：因为复数z＝＝－1－i，所以|z|＝. 2．在复平面内，复数的对应点位于(　　) A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D.第四象限 B　解析：＝＝＝－1＋2i，对应点的坐标为(－1,2)，位于第二象限． 实系数一元二次方程在复数范围内根的问题 【例4】已知－1＋i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则复数z＝p＋qi(p，q∈R)等于2＋2i. 解析：方法一：将－1＋i代入方程，得(－1＋i)2＋p(－1＋i)＋q＝0，整理得(q－p)＋(p－2)i＝0，所以所以p＝q＝2.故z＝p＋qi＝2＋2i. 方法二：因为实系数的一元二次方程虚根成对出现(互为共轭复数)，所以－1±i为方程的两根， 所以 解得故z＝p＋qi＝2＋2i. 【例5】在复数范围内解方程2x2＋3x＋4＝0. 解：因为b2－4ac＝32－4×2×4＝9－32＝－23＜0， 所以方程2x2＋3x＋4＝0的根为x＝＝. 1．已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i A　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)， ∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi. 由复数相等的条件得，∴ ∴z＝1＋i.故选A. 2．已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数k的值． 解：由题意，得Δ＝k2－4(k2－2k)＝－3k2＋8k＜0⇒k＜0或k＞. 设两根为z1，z2，则z2＝，|z2|＝|z1|＝1. 所以z1·z2＝