第7章 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 学习任务目标 　　1.掌握复数代数形式的加、减运算法则． 　　2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 　　3.能够利用复数代数形式的加、减运算法则及几何意义解决问题. (1)＋＝，－＝. (2)已知直线a上有一个动点P，直线外有一个定点Q，当PQ⊥a时，线段PQ的长度取最小值． (3)圆M(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)上动点Q到圆外定点P的最大值为|MP|＋r，最小值为|MP|－r. 知识点一　复数代数形式的加、减运算 1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i， z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). [微训练] 1．若z1＝2＋4i，z2＝3－i，则z1＋z2＝(　　) A．5＋5i B．1＋3i C．5＋3i D．－1＋5i C　解析：z1＋z2＝(2＋3)＋[4＋(－1)]i＝5＋3i. 2．若z1＝1－i，z2＝2＋i，则z1－z2＝(　　) A．3 B．－1－2i C．1＋2i D．－1＋2i B　解析：z1－z2＝(1－2)＋[(－1)－1]i＝－1－2i. 知识点二　复数加、减运算的几何意义 若复数z1，z2对应的向量分别为1，2. 复数加法的几何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 [微训练] 1．已知向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是0. 解析：因为＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以＋对应的复数是0. 2．已知向量对应的复数是2－3i，向量对应的复数是3－4i，则向量对应的复数为1－i. 解析：因为＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i，所以对应的复数为1－i. 复数的加、减运算 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i B　解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6. 2．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi＝(　　) A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i D　解析：z1＋z2＝a＋2＋(b＋1)i.由得∴a＋bi＝－2－i. 3．计算：(2－3i)－(－4＋2i)＝6－5i. 解析：(2－3i)－(－4＋2i)＝(2＋4)＋(－3－2)i＝6－5i. 4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝－1. 解析：由题意知z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数， ∴解得a＝－1. 复数加、减运算的几何意义及应用 【例1】若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，则|z1－z2|＝. 解析：由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝. 【例2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)对应的复数，对应的复数； (2)对角线对应的复数； (3)对角线对应的复数及的长度． 解：(1)∵＝－， ∴对应的复数为－3－2i. ∵＝，∴对应的复数为－3－2i. (2)∵＝－， ∴对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)∵＝＋， ∴所对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， ||＝＝. 1．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是坐标原点，则向量＋＝2，对应的复数为－8－2i，A，B两点间的距离为2. 解析：向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2. ∵＝－， ∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i. ∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2. 2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 解：设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图， 则＝－＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)． ＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵＝，∴ 解得故点D对应的复数为2－i. 复数模的最值问题 根据向量三角不等