第7章 7.1.1 数系的扩充和复数的概念-(教师用书word)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 学习任务目标 　　1.了解数系的扩充与引进复数的必要性． 　　2.理解复数的有关概念及其代数形式．(数学抽象) 　　3.掌握复数相等的充要条件及其应用. (1)实数的分类： 实数 (2)对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)，loga1＝0.(其中a>0，且a≠1) 知识点一　复数的概念及其表示 (1)我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，i2＝－1. 全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (2)复数z＝a＋bi中的a与b分别叫做复数的实部与虚部. [微思考] 虚数单位的实质是－1的一个平方根吗？ 提示：因为i2＝－1，所以i是－1的一个平方根． 知识点二　复数相等及分类 1．复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. 2．复数的分类 (1)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数． 复数的分类情况如下： (2)复数分类的集合表示： [微训练] 1．复数(2＋)i的实部是(　　) A．2 B． C．2＋ D．0 D　解析：复数(2＋)i的实部是0. 2．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝5. 解析：因为a－2i＝bi＋1，所以a＝1，b＝－2.所以a2＋b2＝5. 复数的概念 1．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z＝(　　) A．3－i B．3＋i C．－1＋4i D．1＋3i C　解析：选项C中，复数－1＋4i的实部和虚部分别为－1和4，故二者之和为3.故选C. 2．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　) A．，1 B．，5 C．±，5 D．±，1 C　解析：令得a＝±，b＝5. 3．下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：对于①，当z∈R时，z2≥0成立；否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，①为假命题．对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，②为假命题．对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题． 复数的分类 【例1】当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是：(1)纯虚数？(2)实数？(3)虚数？ 解：(1)当时， 复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，解得m＝4. (2)当时， 复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，解得m＝－2或m＝－3. (3)当时， 复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是虚数，解得m<1－2 或m>1＋2 且m≠－2，m≠－3. 【类题通法】 1．利用复数的分类求参数时，应将复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)． 2．要注意确定使实部、虚部有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解． 3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. 1．“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a，b∈R)为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：当a＝－2时，z＝(22－4)＋(－2＋1)i＝－i是纯虚数； 当z为纯虚数时，a2－4＝0，且a＋1≠0，即a＝±2. 所以，“a＝－2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立．故选A. 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．纯虚数的平方不小于0 B．i是一个无理数 C．1－ai(a∈R)是一个复数 D．复数a＋i与b＋3i(a，b∈R)不可能相等 CD　解析：纯虚数的平方，如i2＝－1＜0，故A错；i是纯虚数，故B错；C正确；D中两个复数的虚部不相等，故两个复数不可能相等，D正确．故选CD. 复数相等条件的应用 我们知道，两个实数可以比较大小，结合复数的知识，探究下列问题． 探究1：由 3>2能推出3＋i>2＋i吗？ 提示：不能． 探究2：两个复数能比较大小吗？ 提示：若两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【例2】(1)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　) A．－2＋i B.2＋i C．1－2i D.1＋2i (2) 若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________. (1)B　解析：由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi.由题意得1＋xi＝y＋2i，