20 课时分层训练(十四) 数系的扩充和复数的概念-(练习)【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教A版)

课时分层训练(十四) 数系的扩充和复数的概念 1．2－i的虚部是(B) A．－2 B．－ C． D．2 2．给出下列三个命题：①－i＋的实部是－；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　解析：－i＋＝－i，实部为，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确．故选B. 3．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则(　　) A．C＝R∪I B．R∪I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝∅ D　解析：复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集，所以R∩I＝∅.故选D. 4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 A　解析：由题意得解得x＝－1. 5．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：a＝0复数a＋bi是纯虚数，反之成立． 6．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于(　　) A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i B　解析：由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi.由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1.故x＋yi＝2＋i. 7．(多选题)下列命题错误的是(　　) A．若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数 B．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0 C．若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系 D．实数集与虚数集的交集是{0} ABCD　解析：A中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故A错误；在B中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故B错误；在C中忽视0·i＝0，故C错误；实数集与虚数集的交集是空集，故D错误．故选ABCD. 8．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部为2，虚部为3，则实数a，b的值分别是________． ±，5　解析：由题意得a2＝2，－(2－b)＝3， 所以a＝±，b＝5. 9．复数z＝2i2－3i的实部是________． －2　解析：z＝2i2－3i＝－2－3i，实部为－2. 10．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)，满足z<0，则m＝________. －1　解析：因为z<0， 所以m2－1＝0，且m<0， 所以m＝－1. 1．已知复数cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，则θ等于(　　) A． B．或π C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) D　解析：由复数相等的充要条件得所以θ＝kπ＋，k∈Z. 2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　) A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b D　解析：要使复数z为纯虚数， 则 所以a>0且a＝±b.故选D. 3．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝________. －3　解析：依题意有解得m＝－3. 4．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是________． 3－3i　解析：3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3.所以所求的复数是3－3i. 5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值为__________． －2　解析：由题意知解得x＝－2. 6．有下列说法： ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－ai(a∈R)是一个复数； ④虚数小于0； ⑤i是一个无理数． 其中正确的有________(填序号)． ①②③　解析：若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；满足形如a＋bi(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；虚数无法比较大小，故④错误；i是虚数，故⑤错误．综上，①②③正确． 7．实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？ 解：令z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i. (1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1. (2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1. (3)当时，z是纯虚数，解得k＝4. (4)当时，z＝0，解得k＝－1. 8．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝