2023年中考数学复习专题：几何最值模型—费马点专题

几何最值模型—“费马点”专题 【费马点】平面内,到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点 【结论】如图所示,△ABC的三个内角均不大于120°,P为三角形内一点,当点P与△ABC三个顶点的连线夹角均为120°时,PA+PB+PC的值最小.(PA+PB+PC=AD=BE=CF) 【费马点作法】 如图,以△ABC的三边向外分别作等边三角形,然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连,交于点P,点P就是原三角形的费马点. 【证明】如图,将△ABP绕点B逆时针旋转60°,得到△A'BP', 连接P P',则△BPP是等边三角形,所以PB=PP'. 由旋转的性质可得PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC>A'C 因此,当A'、P'、P、C四点共线时, PA十PB十PC的值最小. 因为△BPP'是等边三角形,即∠BPP'=60°, 所以∠BPC=120°. 因为∠APB=∠A'P'B,∠BP'P=60°, 所以∠APB=180°-60°=120°, 则∠CPA=360°-120°-120°=120°, 故∠BPC=∠APB=∠CPA=120°. 费马点结论: 1) 对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点; 2) 对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点. 费马问题解决问题的方法是运用旋转变换. 1) 利用旋转把三条共点线段转化成折线段, 2) 利用两点之间线段最短 构造直角三角形,利用勾股定理 模型巧记 求到三角形三个顶点距离和的最小值,只需要以三角形的一条边为边作等边三角形,那么原三角形的第三个顶点和等边三角形的第三个顶点的距离就是最小值 例1、P是边长是2的等边△ABC内的一点, 求PA+PB+PC的最小值 【分析】把△APC绕A逆时针旋转60°,得到△AP'C',连接PP' 易知△APP'是等边三角形 ∴PC=P'C ∴∠CAC'=60° ∴PA+PB+PC=PB+PP'+PC’当且仅当BPP'C'共线时取得最小值 ∵AB=2; ∴AD=1;BD= ∴.C'D=3 ∴BC=2 点评: ①用旋转把三条共点线段转化成折线段 ②利用两点之间线段最短 ③构造直角三角形,利用勾股定理 例2、P是边长是1的正方形ABCD内的一点, 求PA+PB+PC的最小值 【分析】把△APB绕B逆时针旋转,得到△BP'A',连接PP' ∴△BPP'是等边三角形 ∴BP=BP' ∴∠PBP'=60° ∴PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC, 当且仅当CPP'A'共线时取得最小值 ∵AB=AB'=1; ∴A'M=;BM=; ∴CM=; CA'= 例3、P是△ABC内的一点,BC=6,AC=5,∠ACB=30°, 求PA+PB+PC的最小值 【分析】把△APC绕C顺时针旋转60°,得到△CP'A',连接PP' ∴△CPP'是等边三角形 ∴CP=PP' ∴∠PCP'=60° ∴PA+PB+PC=P'A'+PB+PP' 当且仅当BPP’A’共线时取得最小值 ∵CA=CA'=5;CB=6,∠ACB=30° ∴∠A'CB=60° ∴A'B= 什么是加权费马点问题? 标准的费马点问题式中的三条线段的系数全为1。如果不全为1(全为正数),就变成了加权的费马点问题,即讨论kPA+mPB+nPC的最小值,其中k,m,n为正数。 在目前的这类问题中,普遍所给系数满足勾股定理,解决的办法是主要是通过旋转、缩放转化。如: 求点P,使PA+PB+PC最小。 将三角形APC绕点C顺时针旋转60度,得到三角形A'P'C,再将三角形A'P'C以点C为中心缩放1/2,得到三角形A''P''C。 在此旋缩过程中, A''P''=P'A'=PA P''C=P'C=PC ∵∠PCP''=60° ∴PP''=PC ∴PA+PB+PC= A''P''+PB+ PP'' 拖动变化点P看看, 当点P,B,A''共线时,BA''长度即为所求最小值。 此种做法中,哪个图形绕哪个点旋转,旋转多少度,怎么缩放,缩放比是多少都需要根据题中的数据进行探索。 有没有方法不需要考虑这么多呢?而且可不可以不用限制系数满足勾股定理呢? 经过一番探索,得到如下终极求法 加权费马点的终极求法 仍以上面题目为例,我们将系数标记在对应线段上 求点P,使PA+PB+PC最小。 首先找出题中系数最大的“1”,对应的点B,B点对边为AC,在AC边往外作三角形,边长比例为三个系数比,注意系数与边的对应。 然后画出三角形ACD的外接圆,连接BD,BD与圆的交点即为所求的P点,BD的长度(此时PB对应的系数为1,后面还要讲)即为所求最小值。 与前面的方法对照一下,结果是一样的 这里有两个特殊情况也说一下: 如果按照这种方法,点B落在圆的内部,此时线段BD与圆没有D以外的交点,则B点