(练习)8 易错强化练(一) 数列和等差数列-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

易错强化练(一) 数列和等差数列 练易错 易错点1| 忽视数列是特殊的函数 [防范要诀] 数列的通项an及前n项和Sn都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题． [对点集训] 1．设an＝－n2＋5n－6，则数列{an}中的最大项的值是(　　) A． B． C． D．0 D　解析：此二次函数图象对称轴n＝∉N*. ∴当n＝2或3时，an取最大值，a2＝a3＝0. 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn＋2.若对于任意n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是(　　) A．k>0 B．k>－1 C．k>－2 D．k>－3 D　解析：∵an＋1>an， ∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2>n2＋kn＋2， 即k>－(2n＋1)对于任意n∈N*都成立． 当n＝1时，－(2n＋1)取最大值－3， ∴k>－3. 3．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大． 10或11　解析：令an≥0得－n2＋10n＋11≥0， 即n2－10n－11≤0，解得－1≤n≤11. ∵n∈N*，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10项或前11项的和最大． 易错点2| 不能正确进行an与Sn互化 [防范要诀] 凡是已知Sn的解析式或Sn与an的关系式，都需要用到当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；另外，也不要忽视检验n＝1是否也适合an的解析式． [对点集训] 4．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 C　解析：∵Sn＋Sn＋1＝an＋1， ∴Sn－1＋Sn＝an(n≥2)． 两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an.∴an＝0(n≥2)． 当n＝1时，S1＋S2＝a2，∴2a1＝0即a1＝0. ∴{an}是常数列，各项均为0. 5．已知数列{an}满足Sn＝n2＋1，则通项公式an＝________. 　解析：∵Sn＝n2＋1， ∴an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝S1＝2与上式不符． ∴an＝ 易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误 [防范要诀] 使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差． [对点集训] 6．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)，判断{an}是否是等差数列． 解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝.但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列． 7．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2，且an>0，求数列{an}的通项公式． 解：∵Sn＝(an＋1)2， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(an＋1)2－(an－1＋1)2. ∴a－a－2an－2an－1＝0. ∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. ∵an>0，∴an－an－1＝2(n≥2)． ∴{an}为等差数列，公差为2. 当n＝1时，S1＝a1＝(a1＋1)2. ∴a－2a1＋1＝0.∴a1＝1. ∴an＝2n－1. 练疑难 8．在数列{an}中，a1＝1，an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3的值是(　　) A． B． C． D．1 A　解析：∵在数列{an}中，a1＝1，an·an－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)， ∴a2×1＝a1＋(－1)2＝1＋1＝2，解得a2＝2， a3×2＝a2＋(－1)3＝2－1＝1，∴a3＝. 9．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值为(　　) A．0 B．log25 C．32 D．0或32 B　解析：依题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)， ∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，∴(2x)2－4·2x－5＝0. ∴(2x－5)(2x＋1)＝0，∴2x＝5或2x＝－1(舍)， ∴x＝log25. 10．已知数列{an}的通项公式为an＝n－7＋2，则此数列中数值最小的项是(　　) A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 C　解析：∵an＝n－7＋2＝()2－7＋2 ＝－. 令＝，则n＝＝12.25. ∵n∈N*，∴当n＝12时，an最小． 11．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列1，，，，…，；① 第二步：将数列①的各项乘n，得到数