(教用word)第4章 4.3 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

第2课时　等比数列前n项和的应用 学习任务目标 1. 能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. (数学建模) 2. 能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题. (数学运算) (1)已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，则 S5＝62. (2)已知等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则a7＋a8＝128. 知识点　分组求和 某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和. [微训练] 1. 数列{2n－1}的前n项和为________. 2n＋1－2－n　解析：Sn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋23＋…＋2n)－n＝2n＋1－2－n. 2. 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋an＋1＝4×3n－1，则S2 020＝________. 　解析：由题意得S2 020＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋…＋(a2 019＋a2 020)＝4×(30＋32＋34＋…＋32 018)＝4×＝. 等比数列前n项和的实际应用 1. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A. 2盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 6盏 B　解析：设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2. 又由S7＝＝＝381，解得a1＝3. 故选B. 2. 为了庆祝元旦，某公司特意制作了一个热气球，在热气球上写着“喜迎新年”四个大字. 已知热气球在第一分钟内能上升25 m，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的80%，则该气球________上升到125 m高空. (填“能”或“不能”) 不能　解析：设an表示热气球在第n分钟上升的高度. 根据题意，有an＝an－1(n≥2，n∈N*). 已知a1＝25，则{an}为等比数列，且公比q＝. 热气球上升的总高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝125×<125，即不能上升到125 m高空. 3. 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业. 据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元. 由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长，则n年内的总投入为________万元，n年内旅游业的总收入为________万元. 4 000×　1 600×　 解析：由题意知第1年投入800万元， 第2年投入800×万元， …… 第n年投入800×万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列. 所以n年内的总投入Sn＝800＋800×＋…＋800×＝4 000×(万元). 由题意知，第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×万元， …… 第n年旅游业收入为400×万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，公比为的等比数列. 所以n年内旅游业的总收入Tn＝400＋400×＋…＋400×＝1 600×(万元). 故n年内的总投入为4 000×万元，n年内旅游业的总收入为1 600×万元. 分组求和法 提示：“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0，3，6，12，24，48，96，192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4，7，10，16，28，52，100，196，…；再将每一项除以10后得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，… 探究1：数列0，3，6，12，24，48，96，192，…，是等比数列吗？ 提示：不是，从第二项开始是等比数列. 探究2：根据叙述，你能写出“提丢斯数列”的通项公式吗？ 提示：记“提丢斯数列”为数列{an}， 则当n≥3时，10an－4＝6×2n－3， 解得an＝， 当n＝2时，a2＝0.7，符合该式， 当n＝1时，a1＝0.4≠0.55， 所以an＝ 探究3：“提丢斯数列”前31项和为多少？ 提示：由探究2，得“提丢斯数列”前31项和为 S31＝0.4＋30×＋(20＋2＋22＋…＋229)＝＋×＝＋. 【例1】利用数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…构成一个新数列：a1，a2－a1，…，an－an－1，…，此数列是首项为1，公比为的等比数列. 求： (1)数列{an}的通项公式； (2)数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)