(教用word)第4章 4.3 4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和 学习任务目标 1. 掌握等比数列的前n项和公式及其应用. (数学运算) 2. 掌握等比数列前n项和的性质. (数学运算) 3. 会用错位相减法求数列的和. (数学运算) (1)已知等差数列{an}中，a1＝3，d＝4，则S6＝78. (2)已知等比数列{an}中，a3a6＝18，则a1a8＝18. 知识点一　等比数列的前n项和 已知量 首项a1、公比q(q≠1)与项数n 首项a1、末项an与公比q(q≠1) 首项a1、公比 q＝1 求和 公式 Sn＝ Sn＝ Sn＝na1 [微训练] 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝. (×) (2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na. (√) (3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝. (×) 2. (多选)在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，a1＝2，S3＝26，则公比q可能为(　　) A. 3 B. －4 C. －3 D. 4 AB　解析：由题意可知q≠1，且S3＝＝＝26，所以q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4. 3. 在各项均为正数的等比数列{an}中，Sn为其前 n项和. 若a1＝81，a5＝16，则S5＝________. 211　解析：由16＝81×q5－1，q>0，得q＝， 所以S5＝＝211. 知识点二　等比数列前n项和的性质 (1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列. (2)若等比数列{an}的公比q≠－1，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn. (3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比＝q. 知识点三　错位相减法求和 推导等比数列前n项和的方法是错位相减法，一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项乘积的前n项和. [微训练] 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×＋m，则m＝－2. (√) (2)若数列{an}是公比q≠1的等比数列，则其前n项和公式可表示为－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*). (√) 2. 下列数列中，可以用错位相减法求和的是(C) A. {n2} B. {n＋3n} C. D. 3. 数列{n×2n－1 }的前n项和为(　　) A. －3＋(n＋1)×2n　 B. 3＋(n＋1)×2n C. 1＋(n＋1)×2n　 D. 1＋(n－1)×2n D　解析：设数列{n×2n－1 }的前n项和为Tn， 则Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1， 2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 两式作差得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n×2n＝－n×2n＝－1＋(1－n)×2n， 故Tn＝1＋(n－1)×2n. 等比数列的前n项和 1. 在等比数列{an}中，其前n项和为Sn. 若q＝－，S5＝11，则a1＝________. 16　解析：因为S5＝＝×a1＝11，所以a1＝16. 2. 在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题： (1)若an＝2n，求S6； (2)若a1＋a3＝，a4＋a6＝10，求S5； (3)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解：设数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)因为an＝2n＝2×2n－1，所以a1＝2，q＝2. 所以S6＝＝126. (2)由题意，得 解得 从而S5＝＝＝. (3)(方法一)由Sn＝，an＝a1qn－1及已知条件，得 解得 (方法二)由公式Sn＝及已知条件， 得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1qn－1， 得96＝3×2n－1，解得n＝6. 等比数列前n项和的性质 提示：我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”. 探究1：此人第一天走的路程为多少里？ 提示：由题设知：此人每天走的路程构成等比数列{an}，且公比q＝， 由前6项的和为378，可得＝378， 解得a1＝192. 探究2：此人第二天走了多少里？后三天共走了多少里？ 提示：由探