(教用word)第4章 4.3 4.3.1 第2课时 等比数列的性质和应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

第2课时　等比数列的性质和应用 学习任务目标 1. 能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质. (逻辑推理) 2. 能够运用等比数列的性质解决有关问题. (数学运算) 3. 能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. (数学建模) 4. 掌握等比数列的判断与证明方法. (逻辑推理) (1)已知等比数列{an}中，a2＝2，a3＝，则公比q＝. (2)是等比数列4，4，2，…的第11项. 知识点一　等比数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq； 若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则a＝am·an. (2)若数列{an}是等比数列，则{|an|}，{a}，仍为等比数列. (3)若数列{an}(各项为正数)是等差数列，则{aan}为等比数列. (4)若数列{an}(各项为正数)是等比数列，则{logaan}为等差数列. [微训练] 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)在等比数列{an}中，若aman＝apaq，则m＋n＝p＋q. (×) (2)若数列{an}，{bn}都是等比数列，则数列{an＋bn}也一定是等比数列. (×) (3)若数列{an}是等比数列，则{λan}也是等比数列. (×) 2. 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A. a1，a3，a9为等比数列 B. a2，a3，a6为等比数列 C. a2，a4，a8为等比数列 D. a3，a6，a9为等比数列 D　解析：当下标为等差数列时，对应的项为等比数列. 3. 在等比数列{an}中，若a2a8＝9，则a3a7＝(　　) A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9 C　解析：因为2＋8＝3＋7，所以a3a7＝a2a8＝9. 知识点二　等比数列性质的应用 一般来说，当三个数为等比数列时，可设这三个数分别为a，aq，aq2或，a，aq，此时公比为q；当四个数为等比数列时，可设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，公比为q；当四个数均为正(负)数时，可设为，，aq，aq3，公比为q2. [微训练] 1. 在等比数列{an}中，若a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11＝(　　) A. 48 B. 72 C. 144 D. 192 D　解析：＝q9＝8(q为公比)， 所以a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192. 2. 在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝3，则该数列前五项的积为1. 3. 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1. 等比数列的性质 1. 在等比数列{an}中，若a3＝，a9＝2，则a15＝________. 8　解析：因为a3a15＝a，所以a15＝＝＝8. 2. 已知公比为q的等比数列{an}，a5＋a9＝q，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________. 1　解析：因为a5＋a9＝q，所以a4＋a8＝1， 所以a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝1. 3. 在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，求的值. 解：设公比为q. 因为a7a11＝a4a14＝6，a4＋a14＝5， 所以或所以q10＝或q10＝， 所以＝q10＝或＝. 等比数列的实际应用 提示：《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺. 蒲生日自半，莞生日自倍. 意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍. 探究1：设蒲、莞每天长高的尺数分别构成数列{an}，{bn}，你能写出这两个数列的通项公式吗？ 提示：由题意，数列{an}，{bn}都是等比数列，且a1＝4，q＝，b1＝1，q′＝2，所以an＝4×＝，bn＝1×2n－1＝2n－1. 探究2：到第几天，莞的长度是蒲的长度的64倍？ 提示：由探究1，得＝64，所以n＝5，即到第5天，莞的长度是蒲的长度的64倍. 【例1】2021年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%. (1)哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)两林场木材的总量到2025年能否翻一番？ 解：(1)由题意可得 16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1， 解得n＝2， 故到2023年两林场木材的总存量相等. (2)令n＝5，则a5＝16a＋25a<2(16a＋25a)， 故到2025年不能翻一番. 1. 一种专门占据内存的计