(教用word)第4章 4.3 4.3.1 第1课时 等比数列的概念-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念 学习任务目标 1. 理解等比数列及等比中项的概念. (数学抽象) 2. 掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题. (数学运算) (1)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则数列{an}是等差数列. (2)已知函数f (x)＝2x＋1，则f (1)＝4，f (2)＝8，f (3)＝16. 知识点一　等比数列、等比中项的概念 等比 数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0) 等比 中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，G2＝ab [微训练] 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)等比数列中不存在数值为0的项. (√) (2)常数列a，a，a，a，…一定是等比数列. (×) (3)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列. (√) (4)任何两个实数都有等比中项. (×) 知识点二　等比数列的通项公式 (1)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1. (2)第n项与第m项的关系为an＝amqn－m，变形得qn－m＝. (3)由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n). [微训练] 1. 已知等比数列{an}的首项a1＝，公比q＝，an＝，则项数n为(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B　解析：由a1qn－1＝an得×＝，解得n＝4. 2. 在等比数列{an}中，已知a5＋a1＝34，a5－a1＝30，则a3＝(　　) A. 8 B. －8 C. ±8 D. 16 A　解析：由得 所以q4＝16. 所以q2＝4. 所以a3＝a1q2＝8. 等比数列的概念 1. 下列数列为等比数列的是(　　) A. m，m2，m3，m4，… B. 22，42，62，82，… C. q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，… D. ，，，，… D　解析：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；≠，所以B不是等比数列. 2. 下列数列是等比数列的有________. ①1，，，，，…； ②10，10，10，10，10，…； ③，，，，…； ④1，0，1，0，1，0，…； ⑤1，－4，16，－64，256，…. ②③⑤　解析：①不是等比数列. ②是等比数列，公比为1. ③是等比数列，公比为. ④不是等比数列. ⑤是等比数列，公比为－4. 等比数列的通项公式、等比中项及应用 提示：黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值是，大约为0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割. 在直角三角形中，c为斜边，如果一直角边a是将斜边c进行黄金分割成两部分中的较长部分，则a，b，c成等比数列. 现有一直角三角形恰好满足上面的特性，其斜边长为. 探究1：直角边a的长是多少？ 提示：由题意，c＝，＝，所以a＝＝1. 探究2：由题意直角三角形三边a，b，c满足哪些数量关系？ 提示：a2＋b2＝c2，b2＝ac. 探究3：该三角形两直角边平方差的绝对值是多少？ 提示：由探究1，2，得a2＝1，b2＝ac＝，所以|a2－b2|＝. 【例1】在等比数列{an}中， (1)若a2＝4，a5＝－，求an； (2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)根据题意，可知 所以q＝－，a1＝－8， 所以an＝a1qn－1＝－8×＝(－2)4－n. (2)因为a3＋a6＝(a2＋a5)q， 即9＝18q，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. 【例2】(1)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，求实数x的值. (2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a2和a6的等比中项. 解：(1)因为等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4. 又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4. (2)因为{an}是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即a＝a2a4，所以a＝64，解得a3＝4，从而a6＝32. 设{an}的公比为q，则 解得