(教用word)第4章 4.2 4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

第2课时　等差数列的性质及应用 学习任务目标 1. 能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质. (逻辑推理) 2. 能够运用等差数列的性质解决有关问题. (数学运算) 3. 能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题. (数学建模) (1)已知数列{an}的通项公式为an＝－n＋3，则数列{an}是等差数列. (2)已知等差数列{an}的前3项分别为2，7，12，则a1＋a5＝24，a2＋a4＝24. 知识点　等差数列的性质 1. (1)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q∈R)是公差为pd1＋qd2的等差数列. (2)若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*) 是公差为md的等差数列. 2. (1)等差数列的项的对称性：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. (2)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am＋an＝2ak. [微训练] 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q. (×) (2)若数列{an}为等差数列，则数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…(m，k∈N*)也是等差数列. (√) (3)在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝3t(m，n，p，t∈N*)，则am＋an＋ap＝3at. (√) 2. 已知{an}是等差数列，则下列选项中的{bn}也为等差数列的是(　　) A. bn＝a B. bn＝ C. bn＝a3n D. bn＝|an| C　解析：{a3n}为等差数列，公差为原来的3倍. 3. 已知等差数列{an}，a7＋a19＝19，a9＝1，则a17的值为(　　) A. 20 B. 18 C. 15 D. 17 B　解析：因为a7＋a19＝a9＋a17＝19，所以a17＝18. 等差数列的性质 1. 已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值. 解：(方法一)设{an}的公差为d，则解得故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40. (方法二)在等差数列{an}中，因为5＋25＝2×15，所以有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40. (方法三)因为5，15，25是等差数列，所以a5，a15，a25也是等差数列，因此a25－a15＝a15－a5，即a25－25＝25－10，解得a25＝40. 2. 已知等差数列{an}中a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值. 解：由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28. 3. 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值. 解：令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列. 设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2. 故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41. 等差数列的实际应用 提示：《张丘建算经》有这样一个问题：今有某郡守赏赐下属10人，官职依次递降，赏赐随官职递降依次等差递减，前2人共得赏赐190贯，后3人共得赏赐60贯. 探究1：前两人所得赏赐相差多少贯？ 提示：由题意，设等差数列为{an}，公差为d，则可得a1＋a2＝190，a8＋a9＋a10＝60，即，解得a1＝100，d＝－10，则前两人所得赏赐相差10贯. 探究2：第5人得赏赐为多少贯？ 提示：由探究1， a1＝100，d＝－10，所以an＝－10n＋110，故a5＝－50＋110＝60，所以第5人得赏赐为60贯. 【例1】某公司经销一种产品，第1年可获利200万元. 从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元. 按照这一规律，如果公司不引进新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解：设第n年的利润为an万元， 则a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)， 所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损. 由an＝220－20n<0，得n>11. 故