(教用word)第4章 4.2 4.2.1 第1课时 等差数列的概念-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版2019)

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念 学习任务目标 1. 理解等差数列及等差中项的概念. (数学抽象) 2. 掌握等差数列的通项公式. (数学运算) 3. 掌握等差数列的判定方法. (逻辑推理) (1)已知函数f (x)＝3x－1，则f (1)＝2，f (2)＝5，f (3)＝8，f (4)＝11. (2)按规律填空： ①2，5，8，11，14，…； ②11，21，31，41，51，61，…. 知识点一　等差数列、等差中项的概念 等差 数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 等差 中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b [微训练] 1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列. (×) (2)数列0，0，0，0，…不是等差数列. (×) (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项. (√) 2. 若a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，则a，b的等差中项为(　　) A. －1 B. － C. 1 D. C　解析：因为a，b是方程x2－2x－3＝0的两根，所以a＋b＝2. 所以a，b的等差中项为＝1. 知识点二　等差数列的通项公式 (1)首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)第n项与第m项的关系为an＝am＋(n－m)d，从而可得变形公式：d＝. 知识点三　等差数列的函数特性 (1)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f (x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n). (2)任给一次函数f (x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f (1)＝k＋b，f (2)＝2k＋b，…，f (n)＝nk＋b，…构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k. [微训练] 1. (多选)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列(　　) A. 是公差为2的递增等差数列 B. 是公差为2的递减等差数列 C. 是首项为7的递减等差数列 D. 是首项为7的递增等差数列 AD　解析：因为a1＝7，an－an－1＝2n＋5－(2n＋3)＝2>0(n≥2)，所以{an}是首项为7，公差为2的递增等差数列. 2. 在等差数列{an}中，首项a1＝5，公差d＝3，则当an＝2 021时，n等于(　　) A. 671 B. 672 C. 673 D. 674 C　解析：因为a1＝5，d＝3，所以an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2. 令3n＋2＝2 021，得n＝673. 等差数列及等差中项的概念 1. (多选)下列说法正确的是(　　) A. 若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列 B. 若an－an－1＝n(n∈N*且n>1)，则{an}是等差数列 C. 等差数列是相邻两项中的后项与前项之差都等于同一个常数的数列 D. 等差数列的公差是该数列中任意两项的差 AC　解析：对于A，由a－b＝b－c，可得a＋c＝2b，因此a，b，c成等差数列，A正确；对于B，n不是固定常数，该数列不是等差数列，B错误；对于C，根据等差数列的定义可知，C正确；对于D，应为相邻两项. 2. 若数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n，则实数a＝________. 0　解析：因为{an}是等差数列，所以an＋1－an为常数，所以[a(n＋1)2＋(n＋1)]－(an2＋n)＝2an＋a＋1为常数，所以2a＝0，所以a＝0. 3. 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________. 3　解析：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8. 由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10. 两式相加，得m＋n＝6. 所以m与n的等差中项为＝＝3. 等差数列的通项公式 提示：我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度). 二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始. 每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，以冬至的晷长为首项，夏至的晷长为最后一项，按图中顺时针方向，由每个节气的晷长构成的数列为{an}. 探究1：数列{an}是等差数列