2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与最值

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与最值 1．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题． （1）填空：点C的坐标为（　 　，　 　），点D的坐标为（　 　，　 　）； （2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置； （3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？ 2．如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C．若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为﹣8、2． （1）求二次函数的解析式； （2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点． ①求点P的运动路程； ②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由； （3）在（2）的条件下，连接EF，求△PEF周长的最小值． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值； （3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 4．在平面直角坐标系中，已知y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限． （1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点． （3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 5．抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）． ①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，+的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标； ②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）． （1）写出D的坐标和直线l的解析式； （2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值； （3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y＝﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C． （1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标； （2）设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小； （3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值． 8．已知：抛物线l1：y＝﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x＝1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）． （1）求抛物线l2的函数表达式； （2）P为直线x＝1上一动点，连接PA，PC，当PA＝PC时，求点P的坐标； （3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交