2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与三角形 1．已知抛物线C1：y＝ax2+bx+（a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）． （1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标； （2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2，此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的下方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式； （3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标． 3．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝ax2+x+c相交于A，B两点，其中点A在x轴上，点B在y轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上存在一点M，使△MAB是以AB为直角边的直角三角形，求点M的坐标； （3）如图2，点E为线段AB上一点，BE＝2，以BE为腰作等腰Rt△BDE，使它与△AOB在直线AB的同侧，∠BED＝90°，△BDE沿着BA方向以每秒一个单位的速度运动，当点B与A重合时停止运动，设运动时间为t秒，△BDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 4．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断△BCM的形状，并说明理由； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx的对称轴为x＝，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E． （1）求抛物线的解析式； （2）填空： ①用含m的式子表示点C，D的坐标： C（　 　，　 　），D（　 　，　 　）； ②当m＝　 　时，△ACD的周长最小； （3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 6．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣1． （1）求证：点P在直线l上； （2）当m＝﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标； （3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值． 8．如图，二次函数y＝ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式； （3）在（2）的条件下，请解答下列问题： ①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值． 9．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点． （1）则点A，B，C的坐标分别是A（