2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数的最值

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数的最值 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D． （1）求直线BC的解析式； （2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E（不与B、C重合），使PE+BE的值最小，求点P的坐标和PE+BE的最小值； （3）如图3，点G是线段CB的中点，将抛物线y＝﹣x2+x+沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为F．在抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+1）2+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． （1）写出抛物线顶点D的坐标　 　； （2）点D1是点D关于y轴的对称点，判断点D1是否在直线AC上，并说明理由； （3）若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）直接写出点B的坐标； （2）求抛物线解析式． （3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 5．如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值； （2）在（1）的条件下，解答下列问题； ①求出△BCE的面积； ②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标． 6．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（﹣2，0）和点C（0，﹣2），与x轴交于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是第四象限内抛物线上的动点，求四边形AOCM的面积的最大值和此时点M的坐标； （3）点P（0，n）是y轴上的一个动点，将线段OB绕点P顺时针旋转90°，得到线段O'B'，若线段O'B'与抛物线有一个公共点，结合函数图象，请直接写出n的取值范围． 7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求满足条件的点P的坐标． （3）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标． 8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）． （1）填空：点A的坐标为 　 　，点D的坐标为 　 　，抛物线的解析式为 　 　； （2）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值． 9．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴交于C． （1）求A、B、C的坐标； （2）点E是抛物线在第二象限内的一动点，当四边形AECB面积最大时，求E点坐标和四边形AECB面积的最大值； （3）设M在线段AB上且在对称轴左侧，过M作MP⊥x轴交抛物线于P，过P作PQ∥AB交抛物线于Q，过Q作QN⊥x轴于N，如图（2），当矩形MPQN周长最大时，求M的坐标． 10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是坐标轴上的任意一点，设△CBP的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A、B两点，与