3.4向量在立体几何中的应用 测试卷-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4向量在立体几何中的应用 测试卷 一、单选题 1．设为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 2．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知点，，则直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．平面 B．异面直线与所成的角为30° C．平面平面 D．平面平面 7．在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，给出下列结论： ①在M，N两点的运动过程中，⊥平面； ②在平面上存在一点P，使得平面； ③三棱锥的体积为定值； ④以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③④ 8．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论错误的是（    ） A．平面CMN截正方体ABCD—所得的截面图形是五边形 B．直线到平面CMN的距离是； C．存在点P，使得 D．△面积的最小值是． 二、多选题 9．在棱长为的正方体中，则（    ） A．平面 B．直线平面所成角为45° C．三棱锥的体积是正方体体积的 D．点到平面的距离为 10．如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则（    ） A．平面 B．平面与平面相交 C．点О到直线的距离为 D．点O到平面的距离为 11．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D．已知向量，，则在上的投影向量为 12．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（    ） A．与共线且同向的单位向量是 B． C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 三、填空题 13．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个单位法向量，且，则向量的坐标为______. 14．已知平面的法向量为，直线l的方向向量为，且，则实数_________． 15．在三棱柱中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，则与平面所成的角的正弦值为__________. 16．在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子到直线的距离为___________. 四、解答题 17．已知为直线l的方向向量，为平面的法向量，且，判断直线l与平面的位置关系是平行还是垂直． (1)，； (2)，． 18．如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，，求直线与平面所成角的正弦值． 19．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，点在线段上， 平面. (1)求证：为的中点； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4． (1)求点A到平面PCD的距离； (2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 21．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，，PD⊥底面ABCD，，E是PC的中点，F是PB上的点，且． (1)证明：PD//平面AEF； (2)求二面角的正弦值； (3)求三棱锥A－BEF的体积． 22．如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥. (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 参考答案 1．B 【分析】利用空间向量与立体几何的关系即可得到二者的逻辑关系，进而可得“”是“”的必要非充分条件. 【详解】为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量， 则由 ，可得或，则“”不是“”的充分条件； 由，可得，则“”是“”的必要条件. 则“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 2．A 【分析】由方向向量的概念求解， 【详解】由，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意， 故选：A 3．A 【分析】先证明平面，以点为原点，，的方向分别