广东省深圳市南山区2023届高三上学期期末数学试题

南山区2022-2023学年度第一学期期末质量监测 高三数学试题2023.1 注意事项： 1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 5.考试结束后，考生上交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“存在无理数，使得是有理数”的否定为（ ） A. 任意一个无理数，都不是有理数 B. 存在无理数，使得不是有理数 C. 任意一个无理数，都有理数 D. 不存在无理数，使得是有理数 3. 若的展开式的各项系数和为8，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知随机变量的分布列如下： 1 2 若，则（ ） A B. C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（ ） A. 0.032 B. 0.048 C. 0.05 D. 0.15 7. 若函数在区间上的最小值为，最大值为，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 已知交于点的直线，相互垂直，且均与椭圆相切，若为的上顶点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ） A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限 C. D. 10. 下列等式能够成立的为（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，已知点在双曲线的右支上运动，平行四边形的顶点，分别在的两条渐近线上，则下列结论正确的为（ ） A. 直线，的斜率之积为 B. 的离心率为2 C. 的最小值为 D. 四边形的面积可能为 12. 如图，正方体的棱长为2，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（ ） A. 直线可能与平面相交 B. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 C. 当时，与平面所成角最大 D. 当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，，若，则______. 14. 已知正实数，满足，则最小值为________． 15. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为，，，，则______. 16. 若关于的方程在区间上有且仅有一个实数根，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 设数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，记的前项和为，证明：. 18. 某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了解学生的体质健康状况，按照性别采用分层抽样的方法抽取100人进行体质测试.其中男生有50人测试成绩为优良，其余非优良；女生有10人测试成绩为非优良，其余优良. （1）请完成下表，并依据小概率值的独立性检验，分析抽样数据，能否据此推断全校学生体质测试的优良率与性别有关. 性别 体质测试 合计 优良 非优良 男生 女生 合计 （2）100米短跑为体质测试的项目之一，已知男生该项成绩（单位：秒）的均值为14，方差为1.6；女生该项成绩的均值为16，方差为4.2，求样本中所有学生100米短跑成绩的均值和方差. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 参考公式： 19. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，平面平面，，且为的中点. （1）证明：平面平面； （2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值. 20. 在中，，