第09讲 - 圆的综合　　讲义　2022—2023学年北师大版数学九年级下册

第09讲：圆的综合 ( 考点精讲 ) 考点一 正多边形与圆 例1 半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为a，b，c的比值为 。 练1 等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是 。 例2 用一块直径为4m的桌布平铺在一张对角线长度为4m的正方形方桌上，四周下垂的最大距离相同，则这个最大距离的值为 。 例2图 练2图 练2 如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（　　） A．4 B． C． D． 例3 如图，正六边形ABCDEF在桌面上由图1位置沿直线l翻滚一周后到达如图2所示的位置，正六边形边长为2，则正六边形的中心O的运动路径长度为 。 练3 设P是边长为a的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x，y，z（x≤y≤z）．若以x，y，z为边可以组成三角形，则z应满足的条件为（　　） A．a≤z＜a B．a≤z＜a C．a≤z＜a D．a≤z＜a 考点二 三角形与圆综合 例1 如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长． 练1 如图，在等边△ABC 中，BC＝8，以 AB 为直径的⊙O 与边 AC、BC 分别交于点 D、E，过点 D 作 DF⊥BC，垂足为 F。 ①求证：DF 为⊙O 的切线。 ②求弧 DE 的长度。 ③求 EF 的长。 考点三 四边形与圆综合 例1 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径． 练1 如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，∠APB＝60°，连接 PO 并延长与⊙O 交于 C 点，连接 AC，BC． （1）求证：四边形 ACBP 是菱形； （2）若⊙O 半径为 1，求菱形 ACBP 的面积． 例2 如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC． （1）求⊙O半径的长； （2）求证：AB+BC＝BM． 练2 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF． （1）求证：△BFG≌△DCG； （2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长． 考点四 多边形与圆综合 例1 如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动． （1）求图1中∠APN的度数是　　；图2中，∠APN的度数是　　，图3中∠APN的度数是　　． （2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）　　． 练1 阅读下列材料： 问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA＝，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数． （1）图2中∠BPC的度数为　 　； （2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝，PB＝4，PC＝2，则∠BPC的度数为　 　，正六边形ABCDEF的边长为　 　． ． ( 课堂达标 ) 例1.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　） A．2： B．： C．： D．：2 例2.如图，A、B、C是⊙O上顺次3点，若AC、AB、BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，则n＝（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 例3.△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于O，O为圆心，OC为半径作圆交BC于D． （1）如图1，求证：AB为⊙O的切线； （2）如图2，AB与⊙O相切于点E， 连接CE交OA于点F．判断线 段OA与CE的关系，并说明理由． 例4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，D是线段AC上一个动点（不与点A重合），⊙D与AB相切，切点为E，⊙D交射线DC于点F，过F作FG⊥EF交直线BC于点G，设⊙D的半径为r （1）求证：AE＝EF； （2）当⊙D与直线BC相切时，求r的值； （3）当点G落在⊙D内部时，直接写出r的