第03讲 - 二次函数解析式与线段最值　　讲义　2022—2023学年北师大版数学九年级下册

第03讲：二次函数解析式与线段最值 ( 考点精讲 ) 考点一 非特性中二次函数解析式 例1 已知二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，﹣8）和（3，0），则它的解析式为　 　． 练1 已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且经过A（﹣1，0），B（0，﹣3）两点，则这条抛物线的解析式为　 　． 例2 若一条抛物线的顶点是（﹣2，3），并且经过（0，﹣1），则它的解析式为　 　． 练2 已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（ ） A. B. C. 例3 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（0，﹣2），（1，﹣2），则这个图象的解析式为　 　． 练3 抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，7）、B（6，7）、C（3，﹣8）．则其对称轴为　 　，该抛物线解析式　 　． 考点二 特性中二次函数解析式 例1 如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC＝BC，过A、B、C三点的抛物线的解析式为　 　． 练1 如图，点A的坐标为（﹣1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB∥x轴，且CA＝CB．若抛物线y＝a（x﹣1）2+k经过A，B，C三点，则此抛物线的解析式为　 　． 练2 如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）． （1）求该二次函数的表达式； （2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由． 例2 如图，抛物线y＝（x﹣1）（x﹣5）交x轴于A、B 两点，P 为顶点，四边形ABCP是平行四边形，则经过P、B、C三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式为　 　． 练2 如图，在直角坐标系中，二次函数的顶点为C（4，﹣3），且在x轴上截得的线段AB＝6，则二次函数的表达式为　 　；若抛物线与y轴交于点D，则四边形DACB的面积是　 　． 例3 如图，抛物线经过了边长为1的正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则抛物线的解析式为　 　． 练3 如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点B，D的坐标分别为B（0，﹣1），D（0，3），A点在第二象限．则A点的坐标为　 　，以B点为顶点，经过A，C两点的抛物线的解析式为　 　． 考点三 线段最值问题 例1 如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点． （1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求PA+PC的值为最小点P坐标； 练1 如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB． （1）求抛物线C2的解析式； （2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由； 例2 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值； 练2 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值； ( 课堂达标 ) 例1. 顶点在点M（﹣2，1），且图象经过原点的二次函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2+1 例2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一条抛物线经过A，O，B三点，点B在x轴的正半轴上，且OA＝OB＝4，∠AOB＝120°．求这条抛物线的解析式． 例3. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（点B在点A的右边），且OB＝OC． （1）