1.4.4诱导公式与旋转（课件+练习）-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(北师大版2019必修第二册）

1.4.4 诱导公式与旋转 1 观察下面两幅图，你知道每幅图中，红色终边所表示角的三角函数值有什么关系吗？ 思考： 如图，角与角的正弦函数、余弦函数有何关系？ 角α与 的正弦函数、余弦函数关系 如图，利用单位圆作出任意锐角α与单位圆相交 于点 角 的终边与单位圆交于点P′， 由平面几何知识可知, 4 证明：设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v).由图可知，点P的横坐标cosα与点P′的纵坐标sin的绝对值相等且符号相反，即sin=- cosα. 例1：证明： sin=-cosα， cos=sinα. 5 例1：证明： sin=-cosα， cos=sinα. 证明：点P的纵坐标sin 与点P′的横坐标 cos 相等，即cos=sinα. 以上结论对任意角都成立，即对任意角，有 sin=-cosα，cos=sinα. 6 以上两组诱导公式口诀:“函数名改变,符号看象限.” 巩固练习 对于任意角α，下列关系式成立： 公式叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式. 诱导公式口诀： 诱导公式中的角都可看成的形式， 于是，对于和，我们可以用如下口诀去化简：“奇变偶不变，符号看象限”， 口诀中的“奇和偶”，指的是的奇偶，“变和不变”指的是变不变三角函数名， “符号”指的是化简后整个值的正负，“看象限”指的是看所在的象限. (运用公式时，默认为锐角) 例如：，， ，. cos=sinα. 至此，我们在平面直角坐标系中，对角的终边经过对称或旋转得到了诱导公式.我们发现， 是这些诱导公式中旋转的最小角度，而π，2kπ(k∈Z)又都是 的整数倍；还有，中心对称也可以用旋转π表示.于是，我们试图用旋转 的整数倍来分析诱导公式. 16 1.先分析，α+π，α-π，α+2kπ(k∈Z) (1)可以看作角α的终边旋转了； (2)可以看作角α的终边旋转了的2倍； (3)与 α+π的终边重合，其三角函数值均相等； (4)可以看作角α的终边旋转了的4k倍 (k∈Z). 17 2.再先分析和π-α (1)显然， 也就是- ，与的终边重合，其三角函数值均相等，即求的三角函数时，可以将看作角的终边旋转了的3倍； (2) π-α也就是-(α-π). 18 2.再先分析和π-α 综上所述，除了关于-的诱导公式sin(-)= -sin和cos(- )=cos，对于其他诱导公式中的角，都可以看作+，其中n =1，2 ， 3 ，4k(k∈Z). 只需注意，关于和- 的诱导公式，在做了+和α-π的公式变化之后，还要借助于- a的诱导公式· 19 用这样的观点看诱导公式，得到如下结论:当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定. 由于我们比较熟悉锐角三角函数，诱导公式的一个重要作用是将不是锐角的正弦函数、余弦函数问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数问题. 20 解：(1)； (2)； (3)原式 . 例1 求下列函数值： ⑴； ⑵； ⑶. 例2 化简：. 解：原式 . 课堂练习 5 求下列函数值： 27 28 6 化简 解：原式 29 理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程. 能了解诱导公式之间的关系，能相互推导. 能利用诱导公式解决化简、求值等问题. 回顾本节课的收获 30 $ 1.4.4诱导公式与旋转随堂练习 一、单选题 1．如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．化简（    ） A． B． C． D． 4．化简的值是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（    ） A． B． C． D