1.3弧度制（课件+练习）-【超级课堂】2022-2023学年高一数学教材配套教学精品课件+分层练习(北师大版2019必修第二册）

1.３弧度制 温故而知新: 1、角度制的定义 将圆周360等分，每一等分的弧所对的圆心角为1度.这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。 1° 2、弧长公式及扇形面积公式 n° R l 1.角度制的定义 规定周角的 为1度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫角度制. 2.弧长公式及扇形面积公式 在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来困难．那么我们能否重新选择角单位，使运算与常规的十进制加减法一样去做呢？ 探究问题 ． ． 1、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的 弧长一一对应. 因此，可用半径度量弧长的方法定义角的大小. 2、当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧 长不相等. 探究问题 观察下表， 思考同样的圆心角所对的弧长与半径有怎样的关系？ 弧长/cm 0.80 0.86 1.21 2.35 半径/cm 0.93 1.00 1.40 2.71 弧长与半径之比 0.86 0.86 0.86 0.86 得出结论：当圆的半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。我们称这个常数为该角的弧度数。 探究点1 弧度制的有关概念 在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角为__________，它的单位符号是rad,读作弧度. 设弧AB的长为l，若l=r， 则∠AOB= 1弧度. l r = O B r l=r A 1弧度 1弧度的角 则∠AOB= 2 弧度 l r = 则∠AOB= 2π弧度 l r = r O A B l=2r 2π弧度 l=2 π r O A (B) r 若l=2r， 若l=2 π r， 2弧度 若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是 l r = 3， 即∠AOB = l r = -3弧度. l=3r O A B r -3弧度 - 思考：通过上面的实例我们能得到什么结论？ 提示：圆心角∠AOB的弧度数的绝对值等于它所对的弧的长与半径长的比. 1弧度 R l=R O A' B' 1弧度 r l=r O A B 一般地，任一正角的弧度数都是一个_____；任一负角的弧度数都是一个_____；零角的弧度数是__.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制. 正数 负数 0 总结：不同的角，其弧度数一定不相同.因此可用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来.弧度制确 立了角的弧度数与实数间的一一对应关系， 实数集R 角的集合 正角 零角 负角 正实数 零 负实数 对应角的弧度数 探究点2 弧度制与角度制的换算 360°= 2π rad 180°= π rad l=2 π r O A (B) r 因为周角的弧度数是2 π，而在角度制下它是360°，所以 由180°=πrad还可得 1°= —— rad ≈ 0．017 45 rad. 180 π 1rad =（——）°≈ 57．30°=57°18′. π 180 把角度换成弧度 把弧度换成角度 例1 把45化成弧度 解 45= ×45rad= rad 解 rad = ×180 =108 例2 把 rad化成度 方法：用互化公式先约分 练习 （1） 把 67°30′化成弧度。 （2） 把 — π 弧度化成度。 5 3 解： 解： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小； 角度制与弧度制的比较 （3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。 角度制与弧度制的比较 .写出一些特殊角的弧度数 练习: 注: 1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字或“rad” 通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 2.用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式, 如无特别要求，不用将π化成小数。 度 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º 弧度数 终边相同的角 （1）用角度表示 （2）用弧度表示 与终边相同的角