16.2二次根式运算-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（沪科版）

16.2二次根式运算 1．会将二次根式化为最简二次根式，能够识别同类二次根式． 2．理解二次根式的乘除法则，会运用法则进行二次根式的乘除运算． 3．理解二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算 一、二次根式的乘法法则 1．一般地，二次根式的乘法法则是： , 即两个二次根式相乘，等于各个被开方数乘积的算术平方根． 2.把反过来，就得到了积的算术平方根的性质： = 积的算术平方根，等于各个因式的算术平方根的积 作用：可以用它来进行二次根式的化简． 注意： ①a、b必须都是非负数。 ②拓展：=(,)。 ③=一定要有的限定条件。 二、二次根式的除法法则 1.一般地，二次根式的除法法则是： 即两个二次根式相除，算术平方根的商等于商的算术平方根． 2.把=反过来就得到； = 商的算术平方根，等于各个因式的算术平方根的商． 三、最简二次根式 最简二次根式的定义： （1）被开方数中不含分母．即根号内无分母，分母内无根号． （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．即开方得开尽． 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式. 注意： 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 四、同类二次根式 1．如果几个二次根式化成最简二次根式后它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次 根式． 注意： （1）前提条件：二次根式是最简二次根式． （2）被开方数相同 五、二次根式的加减法则 1.二次根式的加减 （1）二次根式的加减实质：先化简（化为最简二次根式），后合并（合并同类二次根式）． （2）二次根式的加减步骤： ①一化：将每个二次根式化为最简二次根式． ②二找：找出同类二次根式． ③三合并：合并二次根式． 注意： ① 二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并． 如是最简二次根式，不能合并． ② 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式，如，不能写成 的形式． ③ 合并同类二次根式后，若系数为多项式，需添加括号，如（）. 题型一 二次根式的乘除运算 【例题1-1】估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【例题1-2】下列等式：①，②，③，④，⑤．正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例题1-3】计算的结果是（　　） A．16 B． C．4 D．±4 【例题1-4】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题1-5】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式的计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（　　） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【变式1-4】______． 【变式1-5】若是最简二次根式，则自然数_________． 【同步测试1-1】若两最简二次根式与的被开方数相同，则______． 【同步测试1-2】计算： (1) (2) (3) (4)． 【同步测试1-3】计算： 【同步测试1-4】（1） （2） 【同步测试1-5】若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 题型二 二次根式加减混合运算 【例题2-1】下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【例题2-2】最简二次根式与是同类二次根式，则的值是__________． 【例题2-3】若与的被开方数相同，则 ______ ． 【例题2-4】计算：的结果为___． 【变式2-1】已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根． 【变式2-2】计算： (1) (2) 【变式2-3】先化简再求值：，其中． 【同步测试2-1】计算： (1) (2) 【同步测试2-2】计算下列各题 (1)； (2)． 【同步测试2-3】在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的： ， ．请你根据小华的解题过程，解决下列问题． (1)填空：______；______． (2)化简：． (3)若，求的值． 【同步测试2-4】先观察下列的计算，再完成习题； ； ； ； (1)请你直接写出结果：______，______． (2)根据你的猜想、归纳，运用规律计算： 题型三 二次根式的应用 【例题3-1】估计与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 【例题3-2】当时，则代数式的值为_________． 【例题3-3】比较大小：__．（选填“