6.1.2 空间向量的数量积-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第二册)

6.1.2 空间向量的数量积 一、空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作， 即． 规定：零向量与任一向量的数量积为0 2、数量积的运算规律： （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 二、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 三、空间向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：. 那么空间两个向量、的夹角的余弦. 2、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一： （1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小 （2）先求，再利用公式求，最后确定. 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 四、投影向量的概念 1、向量在向量上的投影 对于空间向量任意两个非零向量，，设向量，，过点作， 垂足为，上述由向量得到向量的变换称为向量向向量的投影， 向量称为向量在向量上的投影向量。与平面向量的情形类似，我们有 2、向量在平面上的投影 向量，过，作平面的垂线，垂足为，，得到向量， 我们把向量称为向量在平面上的投影向量，此时数量积有 五、求空间向量数量积的步骤 1、将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式， 2、利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积， 3、代入求解. 六、利用空间向量求模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：。 将其推广： 题型一 求空间向量的数量积 【例1】已知向量，向量与的夹角都是，且， 试求：（1）； （2）． 【变式1-1】如图，在三棱锥中，，、分别是的中点、则_____． 【变式1-2】已知正四面体的棱长为1，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知正四面体的棱长为，点，分别是，的中点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，四棱锥中，垂直平分.，则的值是__． 题型二 利用数量积求角度 【例2】空间四边形中，，，则的值是（ ） A．0 B． C． D． 【变式2-1】已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱AB、▱BC的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线与AC所成的角. 【变式2-3】若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为（ ） A． B． C． D．0 【变式2-4】平行六面体，，，若，则______. 题型三 利用数量积求长度 【例3】已知空间中单位向量、，且，则的值为________. 【变式3-1】如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】在平行六面体中，其中，，，则（ ） A．25 B．5 C．14 D． 【变式3-4】如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离. 题型四 利用数量积证明垂直关系 【例4】已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线. 【变式4-1】在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，，为的中点，求证：； 【变式4-2】如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC． 【变式4-3】如图，在四面体中，E，F，G，H分别是，，，的中点．若，，求证：. 题型五 空间投影向量的计算 【例5】四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 【变式5-2】如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____. 【变式5-3】如图，在三棱锥中，平面，，，． （1）确定