7.2.2 复数的乘、除运算-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

直线 7.2.2 复数的乘、除运算 新知探索 l 我们规定，复数的乘法法则如下： 设是任意两个复数，那么它们的积 l . l 很明显，两个复数的积是一个确定的复数.特别地，当，都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积. l 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并即可. 新知探索 容易得到，对任意，，，有 思考1：复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ ， 新知探索 答案：D. 辨析1.(2019年北京高考)已知复数，则( ). A. B. C. D. 辨析2.复数等于( ). A. B. C. D. 答案：A. 例析 例3.计算. l 解： 例析 例4.计算 (1)； (2). l 解(1)： ； 解(2)： 新知探索 共轭复数的性质： 1.若，则为实数； 2.若共轭复数的和为实数，设，则； 3. 4.. 思考2：若是共轭复数，则是一个怎样的数？ 新知探索 复数除法的法则是： 且 问题1：类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请探求复数除法的法则. 由此可见，两个复数相除(除数不为)，所得的商是一个确定的复数. 在进行复数除法运算时，通常先把写成的形式，在把分子与分母都乘分母的共轭复数，化简后就可得到上面的结果.这里分子分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”. 例析 例5.计算. l 解： . 例析 例6.在复数范围内解下列方程： (1)；(2)，其中，且，. l 解(1)：因为，所以方程的根为. 解(2)：将方程的二次项系数化为，得. 配方，得，即 由，知.类似(1)，可得 所以原方程的根为 新知探索 在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为： l (1)当时，； (2)当时，. 练习 题型一：复数的乘法运算 例1.(1)(2019年全国2卷)设，则( ). A. B. C. D. 答案：(1) 解(1)：由，得. (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是( ). A. B. C. D. 答案：(2) 解(2)：，因为对应的点在第二象限， 所以解得. 练习 方法技巧： 两个复数代数形式乘法的一般方法 1.首先按多项式的乘法展开； 2.再将换成； 3.然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式. 练习 变1.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ). A. B. C. D. 解：项，，不是纯虚数； B项，，不是纯虚数； C项，，是纯虚数； D项，，不是纯虚数.故选C. 答案： 练习 题型二：复数的除法运算 例2.(1)(2019年全国3卷)若，则( ). A. B. C. D. 答案：(1) 解(1)：由，得. (2)设，则( ). A. B. C. D. 答案：(2) 解(2)：法一.∵，∴ 法二. 练习 方法技巧： 两个复数代数形式的除法运算步骤 1.首先将除式写为分式； 2.再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； 3.然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 练习 变2.计算：. 解：原式 练习 题型三：复数范围内方程根的问题 例3.已知是方程的一个根(为实数). (1)求的值；(2)试判断是否是方程的根. 解(1)：∵是方程的根，∴ 即.∴解得∴，. 解(2)：将方程化为， 把代入方程，显然方程成立， ∴也是方程的一个根. 练习 方法技巧： 复数范围内实系数一元二次方程的解法 1.求根公式法 (1)当时，；(2)当时，. 2.利用复数相等的定义求解 设方程的根为，将此式代入方程，化简后利用复数相等的定义求解. 练习 变3.在复数范围内解下列方程. (1)；(2). 解(1)：因为，所以. 又因为，所以，∴方程的根为. 解(2)：法一.因为，所以. 因为，所以， ∴方程的根为. 练习 变3.在复数范围内解下列方程. (2). 解(2)：法二.由知， 所以方程无实数根. 在复数范围内，设方程的根为(，且)， 则，所以， 整理得，，所以 又因为，所以解得，， 所以，即方程的根为. 课堂小结 1.复数的乘法法则： 设，是任意两个复数，那么它们的积 . 2.复数乘法的运算律： 对任意，，，有 (1)交换律： (2)结合律：； (3)乘法对加法的分配律：. 课堂小结 3.复数的除法及运算律：