1.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的应用及数列求和（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第二课时　等比数列的前n项和的应用及数列求和 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握四种数列求和的方法． 重点 难点 重点：数列的前n项和． 难点：等比数列前n项和的实际应用. ———————————————————————————————————— 等比数列前n项和的实际应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　一个皮球从距地为H的地方释放，经地面反弹最后上升至处，之后每次反弹后上升的最高高度为上一次反弹的一半，若该皮球从开始释放至第五次接触地面瞬间，在空中的运动轨迹长为10米，求H的值． [解]　根据题意，皮球第n次接触地面至第n＋1次接触地面的运动轨迹长度满足一个以首项a1＝H，公比q＝的等比数列{an}， 故皮球从开始释放至第五次接触地面，在空中的运动轨迹长度为： a1＋a2＋a3＋a4＋H＝＋H＝H， 由题可知，H＝10，解得H＝. 应用等比数列前n项和公式解决实际问题的步骤 (1)构建数列模型； (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q； (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． 注意：①数列项数的确定，特别是涉及年份的问题，要能正确确认起始年份；②正确判断问题是求数列的第n项，还是求数列的前n项和．　　 [对点训练] 在《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧．如图，正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依此方法一直继续下去，记第一个正方形ABCD的面积为S1，第二个正方形EFGH的面积为S2，…，第n个正方形的面积为Sn，求前n个正方形的面积之和． 　　 解：设第n个正方形的边长为an，由题意可得an＋1＝＝an，且a1＝4， 故数列{an}是以4为首项，以为公比的等比数列， 所以，＝＝2＝，且S1＝42＝16， 所以，数列{Sn}是以16为首项，以为公比的等比数列， 因此，前n个正方形的面积之和为＝32. ———————————————————————————————————— 利用分组求和法求数列的前n项和 ———————————————————————————————————————— [典例]　(2019·天津高考)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足c1＝1，cn＝其中k∈N＋. ①求数列{a2n(c2n－1)}的通项公式； ②求ici(n∈N＋)． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 依题意得解得 故an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1，bn＝6×2n－1＝3×2n. 所以{an}的通项公式为an＝3n＋1，{bn}的通项公式为bn＝3×2n. (2)①a2n(c2n－1)＝a2n(bn－1)＝(3×2n＋1)(3×2n－1)＝9×4n－1. 所以数列{a2n(c2n－1)}的通项公式为a2n(c2n－1)＝9×4n－1. ②ici＝ai＋ai(ci－1)] ＝i＋2i(c2i－1) ＝＋(9×4i－1) ＝(3×22n－1＋5×2n－1)＋9×－n ＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12(n∈N＋)． 分组法求数列的前n项和的方法技巧 如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和．　　 [对点训练] 1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　 ) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 解析：选C　∵an＝2n＋2n－1，设bn＝2n，cn＝2n－1，易知{bn}为等比数列，{cn}为等差数列，且b1＝2，q＝2，c1＝1.则数列{an}的前n项和为＋＝2n＋1－2＋n2. 2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式． (2)求{an}的前20项和． 解：(1)由题意，得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5. 易得a2n＋2＝a2n＋1＋1，a2n＋1＝a2n＋2， 所以a2n＋2＝a2n＋3，即bn＋1＝bn＋3， 所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2)由(1)可得a2n＝3n－1，a2n－1