1.3.1 第2课时 等比数列的性质及其应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第二课时　等比数列的性质及其应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题，理解等比中项． 2．掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题． 重点 难点 重点：利用等比数列解应用题及等比数列的性质． 难点：等比数列的实际应用. 1．等比数列an＝a1qn－1(q>0)的增减性 a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 数列{an}的增减性 递减数列 常数列 递增数列 递增数列 常数列 递减数列 2.等比中项 如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±.我们称G为a，b的等比中项． 3．等比数列的性质 一般的，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则asat＝apaq，特别的，如果2s＝p＋q，则a＝apaq. 等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{a}(m为常数，n∈N＋)是公比为qm的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． 1．若{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等比数列的是(　 ) A．{an＋bn} B．{an－bn} C．{anbn} D．{an＋5} 解析：选C　两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列．故选C. 2．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4·a7＝(　 ) A．－6 B．－2 C．2 D． 解析：选B　a4a7＝a1a10＝＝－2. 3．在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于(　 ) A．9 B．6 C．3 D．2 解析：选C　因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log327＝3. ——————————————————————————————————— 等比中项及应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． [解]　设该等比数列的公比为q，首项为a1， ∵ ∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)． 上述两式相除，得q(1－q)＝，解得q＝. ∴a1＝＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·10＝9. ∴a5，a7的等比中项是±3. (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项． (2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．　　 [对点训练] 1．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则＝__________. 解析：由题意知，a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9.∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d, ∴＝＝. 答案： 2．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，由a，b，c均不为零，可得a2＋b2≠0，b2＋c2≠0，故ab＋bc≠0，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． ———————————————————————————————————— 等比数列性质及其应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　已知{an}为等比数列． (1)若{an}满足a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [解]　(1)等比数列{an}中，∵a2a4＝， ∴a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝. (2)由等比中项，化简条件得a＋2a3a5＋a＝25， 即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋l