1.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

第二课时　等差数列的前n项和的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2．会求等差数列前n项和的最值． 重点 难点 重点：等差数列的实际应用及最值问题． 难点：同重点. ———————————————————————————————————— 等差数列前n项和的实际应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ [解]　从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． [方法技巧]　应用等差数列解决实际问题的思路 建模 根据题设条件，建立数列模型：①分析实际问题的结构特征；②找出所含元素的数量关系；③确定为何种数学模型 解模 利用相关的数列知识加以解决：①分清首项、公差、项数等；②分清是an还是Sn问题；③选用适当的方法求解 还原 把数学问题的解客观化，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解 [对点训练] 1．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开始运动后________分钟相遇． 解析：设n分钟后相遇，依题意，有2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7或n＝－20(舍去)．所以相遇是在开始运动后7分钟． 答案：7 2．为了参加5 000 m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划，第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m，李强10天一共跑了多少m? 解：将李强每一天跑的路程记为数列{an}，由题意知，{an}是等差数列，则a1＝5 000，公差d＝400.所以S10＝10a1＋d＝10×5 000＋45×400＝68 000，故李强10天一共跑了68 000 m. ———————————————————————————————————— 等差数列前n项和的最值问题 ———————————————————————————————————————— [典例]　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意得解得 ∴an＝3n－12. (2)法一：Sn＝＝(3n2－21n)＝2－， ∴当n＝3或n＝4时，前n项的和取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. 法二：设Sn最小，则 即解得3≤n≤4， 又n∈N＋，∴当n＝3或n＝4时，前n项的和取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. [拓展] 1．将本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值． 解：S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1<0，故Sn有最大值， an＝a3＋(n－3)d＝28－n. 设Sn最大，则解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝＝378. 2．在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n. 解：法一：因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为直线x＝，所以当x＝0或x＝7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7. 法二：因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7. 3．将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 解：法一：要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大． 由S3＝S11，得3a1＋d＝11a1＋d， 即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n