1.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

　2.2　等差数列的前n项和 第一课时　等差数列的前n项和公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 重点 难点 重点：等差数列前n项和公式及其性质的应用． 难点：等差数列前n项和公式的应用. 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 在a1，d，n，an，Sn中，“知三求二” (1)在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d. 两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项、前n项和． (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中，已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”． 1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＝－2，则前10项和S10＝(　 ) A．－20 B．－40 C．－60 D．－80 解析：选D　由公式Sn＝na1＋×d得S10＝10×1＋×(－2)＝－80. 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　 ) A．72 B．54 C．36 D．18 解析：选A　由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72. 3．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________. 解析：由已知可得解得 ∴S8＝8a1＋d＝32. 答案：32 ———————————————————————————————————— 等差数列前n项和的基本运算 ———————————————————————————————————————— [典例]　在等差数列{an}中， (1)已知a3＝16，S20＝20，求S10； (2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12； (3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则有解得 所以S10＝10×20＋＝200－90＝110. (2)因为Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)， 所以a12＝＋(12－1)×＝－4. (3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40， an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， 所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30. 又因为Sn＝＝210， 所以n＝＝14. 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值． (2)利用等差数列的性质解题． 　　 [对点训练] 在等差数列{an}中， (1)已知前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2 550，求a及k. (2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由题意得 ∴ ∴a＝2，k＝50. (2)∵S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6. 又an－3＝45， ∴Sn＝＝＝＝510， ∴n＝20. ———————————————————————————————————— 等差数列前n项和的性质及应用 ———————————————————————————————————————— [典例]　(1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　 ) A．130 B．170 C．210 D．260 (2)已知数列{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________. [解析]　(1)利用等差数列前n项和的性质S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210. (2)由等差数列的性质知，＝＝＝＝＝. [答案]　(1)C　(2) 巧妙应用等差数列前n项和的性质 (1)“片段和”性质 若{an}为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列． (2)项数(下标)的“等和”性质 Sn＝＝. (3)项的个数的“奇偶”性质 {an}为等差数列，公差为d. ①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)； S偶－S奇＝nd；＝. ②若共有2n＋1项，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； S偶－S奇＝－an＋1；＝. (4)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． (5)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.　　 [对点训练] 1．等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所