16.2 二次根式的乘除-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

16.2 二次根式的乘除 一、二次根式的乘法 1、二次根式的乘法法则 注：①； ②若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简。 2、积的算术平方根的性质（二次根式乘法法则的逆用） 3、利用积的算术平方根的性质化简的步骤 （1）将被开方数进行因数分解或因式分解； （2）应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开方后移到根号外。 注：二次根式的乘法与整式的乘法类似，以往学过的乘法公式等都可以运用。 二、二次根式的除法 1、二次根式的除法法则 注：二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。 2、商的算术平方根的性质（二次根式除法法则的逆用） 3、利用商的算术平方根的性质化简的步骤 （1）先将被开方数化为的形式； （2）利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号； （3）当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。 注：二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去。 三、最简二次根式 1、概念 ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。满足以上两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 注：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 2、化最简二次根式的方法和步骤 （1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简； （2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 3、分母有理化 概念：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 题型一 二次根式的乘法 【例1】计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【变式1-1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．6和7之间 D．9和10之间 【变式1-4】有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？ ①；②；③；④；⑤． 问题的答案是：________（填序号）． 题型二 二次根式的除法 【例2】计算： （1） （2） （3） （4） 【变式2-1】估算的运算结果应在（    ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【变式2-2】计算：______． 【变式2-3】的倒数是______． 【变式2-4】若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为__________cm（保留根式）． 题型三 最简二次根式的判断 【例3】下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最简二次根式的是（    ） A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦ 【变式3-2】在，，，中不是最简二次根式的是 【变式3-3】若>0，则下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【变式3-4】写出一个实数，使是最简二次根式，则可以是 题型四 化为最简二次根式 【例4】化简： ＝_____；＝_____；＝_____；＝_____；＝_____；＝_____ 【变式4-1】化简： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 【变式4-2】化简   （    ） A． B． C． D． 【变式4-3】化简的结果是______． 【变式4-4】化简：________． 题型五 已知最简二次根式求参数 【例5】若是最简二次根式，则a的值可能是（    ） A．27 B．18 C．11 D． 【变式5-1】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为__________． 【变式5-2】若是最简二次根式，则自然数_________． 【变式5-3】若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【变式5-4】将式子 (a为正整数)化为最简二次根式后，可以与合并． （1）a的最大值为_____； （2）所有符合条件的a的和为_____． 题型六 分母有理化 【例6】分母有理化：____________． 【变式6-1】分母有理化：____________（其中）． 【变式6-2】分母有理化：______． 【变式6-3】分母有理化：______． 【变式6-4】计算_________． 题型七 二次根式的乘除混合运算 【例7】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式7-1】计算：________． 【变式7-2】计算：