7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

直线 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 问题导入 l 在上一节，我们把实数集扩充到了复数集.引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算.下面就来讨论复数集中的运算问题. l 我们规定，复数的加法法则如下： 设，是任意两个复数，那么它们的和 . l 很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.特别地，当，都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和. l 可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加. 新知探索 容易得到，对任意，，，有 思考1：复数的加法满足交换律、结合律吗？ 问题1：我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 新知探索 设，分别与复数对应，则，.由平面向量的坐标运算法则，得. 这说明两个向量与的和就是与复数 对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义. 复数是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. 新知探索 思考2：我们知道，实数的减法是加法的逆运算.类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？ 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 的复数叫做复数减去复数的差， 记作. 新知探索 根据复数相等的含义，因此 所以即 这就是复数的减法法则.由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减. 问题2：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ 复数是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 新知探索 答案：√,√，×. 辨析1.判断正误. (1)两个虚数的和或差可能是实数.( ) (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( ) (3)复数的减法不满足结合律，即可能不成立.( ) 辨析2.在复平面内，若，对应的复数分别为，，则______. 答案：5. 例析 例1.计算. l 解： 例析 例2.根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离. l 解：因为复平面内的点 ，对应的复数分别为，，所以点，之间的距离为 练习 题型一：复数的加、减运算 例1.(1)计算：___________. (2)设，，且，求. 答案：(1)(2) 解(1)： 解(2)：∵， ∴， ∴，即 ∴ 练习 方法技巧： 复数代数形式的加、减法运算技巧 1.复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部. 2.算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. 3.复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 练习 变1.已知复数满足，则_____. 解：设，， ∴， ∴解得∴. 答案： 练习 题型二：复数的加、减运算的几何意义 例2.已知四边形是复平面上的平行四边形，顶点分别对应于复数， ，，求点对应的复数及对角线，的长. 解：如图，因为与的交点是各自的中点， 所以有，所以. 因为对应的复数为， 所以 因为对应的复数为， 所以 故点对应的复数是，与的长分别是和. 练习 方法技巧： 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧 1.形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. 2.数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中. 练习 变2.设及分别与复数及复数对应，计算，并在复平面内作出. 解： 在复平面内作出如图中所示. 练习 题型三：复数加、减运算几何意义的应用 例3.设，，已知，，求. 解：法一.设，， 由题设知，， 又∵ ∴ ∵ ∴ 练习 例3.设，，已知，，求. 解：法二.作出，对应的向量，，使. ∵，又，不共线(若，共线，则或与题设矛盾)， ∴平行四边形为菱形. 又，∴，即四边形为正方形，故. 练习 方法技巧： 1.表示复数，的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式. 2.表示以对应的点为圆心，为半径的圆. 3.涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题时，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 练习 变3.若复数满足，则的最小值为( ). A. B. C. D. 答案： 解：由，得， ∴，即， ∴ 当且仅当时，取得最小值. 课堂小结 1.复数的加法、减法的运算法则： 设，是任意两个复数，则 (1). (2)