专题十 向量-山东省东营市第一中学2022-2023学年高一数学寒假作业

专题十：向量 【知识结构】 1.平面向量的基本概念 (1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与始点无关；非零向量的平行具有传递性； 相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性． (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把向量的平移与函数图 像的平移混为一谈． 2.向量的线性运算 (1)向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“始 点重合，指向被减向量”；向量加法的平行四边形法则要素是“始点重合”． (2)用几个基向量表示某个向量问题的基本技巧： (1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(2)运用法则找关系；(4)化简结果． 3.向量的共线问题 运用向量平行(共线)证明常用的结论有：(1)向量 a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使 b＝λa； (2)向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2＝x2y1；(3)向量 a 与 b 共线⇔存在不全为零的实数λ1， λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 4.向量的坐标运算 几个重要公式： 1．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→ |＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. 2．设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)；λa＝(λx1，λy1)； a∥b⇔a＝λb⇔x2y1＝x1y2. 3．设 a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝ x2＋y2. 类型一 共线问题 例 1 如图所示，在▱ABCD中，点 M是 AB的中点，点 N在 BD上，且 BN＝1 3 BD.求证：M，N， C三点共线. 变式 设坐标平面上有三点 A，B，C，i，j 分别是坐标平面上 x轴、y轴正方向的单位向量，若 向量AB→＝i－2j，BC→＝i＋mj，那么是否存在实数 m，使 A，B，C三点共线？ 类型二 由向量的线性运算求参数 例 2 如图，在△ABC中，AD→＝2 3 AC→，BP→＝1 3 PD→，若AP→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为( ) A.11 12 B.3 4 C.8 9 D.7 9 变式 1 如图所示，在△ABC中，AN→＝1 3 NC→，P是 BN上的一点，若AP→＝mAB→＋ 2 11 AC→，则实数 m的值为________． 变式 2 (1)如图，在平行四边形 ABCD中，AC，BD相交于点 O，E为线段 AO的中点．若BE→ ＝λBA→＋μBD→ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝( ) A．1 B.3 4 C.2 3 D.1 2 (2)在△ABC中，CM→＝3MB→，AM→＝xAB→＋yAC→ (x，y∈R)，则x y ＝________． 类型三 利用已知向量表示相关向量 例 3 如图，D，E，F分别是△ABC的边 BC，CA，AB上的点，且 AF＝1 2 AB，BD＝1 3 BC，CE ＝ 1 4 CA，若记AB→＝c，CA→＝b，试用 b，c 表示DE→，EF→，FD→ . 变式 如图，设△ABC的重心为 M，O为平面上任一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用 a，b， c 表示OM→ . 类型四 向量的坐标运算 例 4 如图，半径为 3的扇形 AOB的圆心角为 120°，点 C在AB ︵ 上，且∠COB＝30°，若OC→＝λOA→ ＋μOB→，则λ＋μ等于( ) A. 3 B. 3 3 C.4 3 3 D．2 3 变式 已知向量AB→＝(4，3)，AD→＝(－3，－1)，点 A(－1，－2)． (1)求线段 BD的中点 M的坐标； (2)若点 P(2，y)满足PB→＝λBD→ (λ∈R)，求 y与λ的值． 类型五 向量在平面几何、物理中的应用 例 5 已知直角梯形 ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点 C作 CE⊥AB于 E，M为 CE的 中点，用向量的方法证明： (1)DE∥BC； (2)D，M，B三点共线. 变式 1 如图，用两根绳子把重 10 N的物体 W吊在水平杆 AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°. 求 A和 B处所受力的大小.(忽略绳子重量) 变式 2 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南 30°， 风速为 4 m/s，这时气象台报告实际风速为 2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小. 类型六 向量在三角形中的应用 例 6 (1)已知点 O是△ABC内部一点，并且满足 2OA→＋3OB→＋5OC→＝0，△OAC的面积为 S1， △ABC的面积为 S2，则S1S2 ＝( ) A. 3 10 B.3 8 C.2 5 D. 4 21 (2)已知点 O，N在△ABC所在的平面内，且|O