专题八 对数函数-山东省东营市第一中学2022-2023学年高一数学寒假作业

高一第一学期专题复习（八） 对数函数 一、知识结构： 1．对数的概念：在表达式 ab＝N(a>0且 a≠1，N∈(0，＋∞))中，当 a与 N确定之后，只有 唯一的 b能满足这个式子，此时，幂指数 b称为以 a为底 N的对数，记作 b ＝logaN，其中 a称为对数的底数，N称为对数的真数． 常用对数：以 10为底的对数称为常用对数，log10N可简写为 lg N. 自然对数：以无理数 e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，logeN通常简写为 ln N. 2．一般地，有对数与指数的关系：若 a>0且 a≠1，则 ax＝N⇔logaN＝x.（如上图） 3．对数恒等式： logaNa ＝N(a>0且 a≠1)；logaab＝b(a>0且 a≠1)． 4．对数的性质： (1)loga1＝0(a>0且 a≠1)．(2)logaa＝1(a>0且 a≠1)．(3)0和负数没有对数 5.对数运算性质：如果 a>0，且 a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN. (2)loga M N ＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 注意点： (1)性质的逆运算仍然成立． (2)公式成立的条件是 M>0，N>0，而不是 MN>0， 比如式子 log2[(－2)·(－3)]有意义，而 log2(－2)与 log2(－3)都没有意义． (3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中 Nk>0，k∈N＋. 6．对数换底公式：logab＝logcb logca (a>0且 a≠1，b>0，c>0且 c≠1)． 7．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝ 1 logNa (N>0且 N≠1，a>0且 a≠1)． (2) log n ma b ＝ m n logab(a>0且 a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且 a≠1，b≠1，c≠1)． 注意点：（1）公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即 logab＝lg b lg a 或 logab＝ln b ln a . 8.对数函数的定义:一般地，函数 y＝logax称为对数函数，其中 a是常数，a>0且 a≠1. 注意点：(1)系数为 1. (2)底数为常数 a. (3)变量 x为真数． 9.对数函数的性质与图像 y＝logax(a>0且 a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图像 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图像过定点(1,0)，即当 x＝1时，y＝0 函数值特点 当 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；当 x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当 x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；当 x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数 y＝logax与 y＝ 1log a x的图像关于 x轴对称 注意点：（1）．如图给出 4个对数函数的图像则 b>a>1>d>c>0， 即在第一象限，不同的对数函数图像从左到右底数逐渐增大． （2）．对数函数 y＝logax(a>0且 a≠1)的图像恒过点(1,0)，(a,1)， 1 a ，－1 . 10.反函数：指数函数 y＝ax(a>0且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0且 a≠1)互为反函数，它们 的图像关于直线 y＝x对称． 二、基础性题组： 1.求下列各式中 x的值： (1)log27x＝－1 3 ；(2)logx16＝－4. (3)log2(log5x)＝0；(4)x＝ 71 log 57 － . 2．函数 y＝loga(x－2)＋2(a>0且 a≠1)的图像恒过定点 ． 3．计算：(log29)·(log34)＝ . 4．若函数 y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是 1，则 a＝ . 三、典例回扣： 例 1 (1)设 2a＝5b＝m，且1 a ＋ 1 b ＝2，则 m等于( ) A. 10 B．10 C．20 D．100 (2)计算：log535＋ 1 2 2log 2－log5 1 50 －log514＝ . 跟踪训练 1 (1)已知 a>b>1，若 logab＋logba＝5 2 ，ab＝ba，则 a＋b＝ . (2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ . 例 2 (1)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且 a≠1)的图像如图所示，则 a，b满足的关系 是( ) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1