专题七 指数函数与幂函数-山东省东营市第一中学2022-2023学年高一数学寒假作业

高一第一学期专题复习（七） 指数函数与幂函数 一、知识结构： 1．根式的性质： (1)( n a)n＝a. (2) n an＝ a，当 n为奇数时， |a|，当 n为偶数时. 注意点： (1)对于( n a)n＝a，若 n为奇数，则 a∈R；若 n为偶数，则 a≥0. (2)( n a)n与 n an意义不同，比如 3 －33＝－3， 4 －34＝3，而( 4 －3)4没有意义，故( n a)n≠ n an. (3)当 a≥0时，( n a)n＝ n an；当 a<0 且 n为奇数时，( n a)n＝ n an；当 a<0且 n为偶数时，对于 n an要注意运算 次序． 2.指数函数的定义 一般地，函数 y＝ax称为指数函数，其中 a是常数，a>0且 a≠1. 注意点：(1)系数为 1. (2)底数为常数 a. (3)自变量 x为指数． 3.指数函数 y＝ax(a>0且 a≠1)的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 恒过点(0,1) 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 当 x<0时，y∈(0,1)， 当 x>0时，y∈(1，＋∞) 当 x<0时，y∈(1，＋∞)， 当 x>0时，y∈(0,1) 注意点： (1)函数图像只出现在 x轴上方． (2)当 x＝0时，有 a0＝1，故指数函数过定点(0,1)． (3)当 0<a<1时，底数越小，图像越靠近 y轴． (4)当 a>1时，底数越大，图像越靠近 y轴． (5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图像关于 y轴对称 (6)指数函数图像在第一象限底大图高 4.幂函数的定义： 一般地，函数 y＝xα称为幂函数，其中α为常数． 注意点：(1)xα的系数为 1. (2)底数 x为自变量． (3)α为常数． 5．五个幂函数的图像： 6．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ 1 2x y＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在 R 上是 增函数 在[0，＋∞)上 是增函数，在 (－∞，0]上是 减函数 在R上是增 函数 在[0，＋∞)上是增 函数 在(0，＋∞)上 是减函数，在 (－∞，0)上是 减函数 公共点 (1,1) 注意点： (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都经过点(1,1)．在第四 象限内都没有图像．在第二、三象限内的图像可由函数的奇偶性画出． (2)当α＞0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当 0＜α＜1时，曲线上凸；当α＞1时，曲 线下凸；并且在区间[0，＋∞)上单调递增． (3)当α＜0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．并且在区间(0，＋∞)上单调递减． (4)在 x＝1右侧，幂函数 y＝xα的指数α从下向上看递增，即“指大图高”“指小图低”． 二、典例回扣： 题型一 化简求值 例 1（1）下列判断正确的有___________. ① 44 (3 π) 3 π   ② 7 8a a a a   (其中 a>0)③ 3 416 27 81 8        ； ④ 831 2 364m n m n        （其中 0, 0m n  ）. 跟踪训练 1: （1）求值： 1 2 2 2 6 23 127 2 0.25 ( 2) (3 π) 4            ； （2）（2）已知： 1 1 2 2 3a a    ，求 3 3 2 2 2 2 2 2 a a a a       的值． 题型二 求函数的定义域和值域 例 2 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝ 1 42 x ； (2)y＝ 2 3 －|x|； (3)y＝ 1－ 1 2 x. (4)求函数 y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的值域 跟踪训练 2 (1)函数 f(x)＝ 3 x－4 ＋ 2x－4的定义域是________． (2)函数 y＝ 3 x 1＋3x 的定义域为________，值域为________． (3)函数 y＝ 16－4x的值域是( ) A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 题型三 与指数函数或幂函数有关的图像问题 例 3 (1)已知函数 f(x)＝ax＋b的图像如图所示，则函数 g(x)＝ax＋b的图像可能是( ) (2) (多选)已知实数 a，b满足 1 2 a＝ 1 3 b，给出下面几种关系，则其中可能成立的是( ) A．0<a<b B．0<b