专题五 奇偶性与单调性-山东省东营市第一中学2022-2023学年高一数学寒假作业

2022 级高一数学寒假专题复习（五）奇偶性与单调性 一、知识梳理： 单调性定义的等价形式: （1）函数  xf 在区间  ba, 上是增函数:  任取  baxx ,, 21  ，且 21 xx  ，都有     021  xfxf ；  任取  baxx ,, 21  ，且 21 xx  ，     0 21 21    xx xfxf ；  任取  baxx ,, 21  ，且 21 xx  ，        02121  xfxfxx ；  任取  baxx ,, 21  ，且 21 xx  ，     0 21 21    xfxf xx . （2）函数  xf 在区间  ba, 上是减函数:  任取  baxx ,, 21  ，且 21 xx  ，都有     021  xfxf ；  任取  baxx ,, 21  ，且 21 xx  ，     0 21 21    xx xfxf ；  任取  baxx ,, 21  ，且 21 xx  ，        02121  xfxfxx ；  任取  baxx ,, 21  ，且 21 xx  ，     0 21 21    xfxf xx . 判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若 函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ( )f x 与 ( )f x 之一是否相等. （2）验证法：在判断 ( )f x 与 ( )f x 的关系时，只需验证 ( )f x ( )f x =0 及 ( ) 1 ( ) f x f x    是否成立. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ y 轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两 个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义 域是否关于原点对称，然后判断 ( )f x 与 ( )f x 的关系.首先要特别注意 x与 x 的范围，然后将它代入相应 段的函数表达式中， ( )f x 与 ( )f x 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 函数对称性的常用结论 （1）若      f a x f a x ，则函数图象关于 x a对称； （2）若    2 f x f a x ，则函数图象关于 x a对称； （3）若      f a x f b x ，则函数图象关于 2   a bx 对称； （4）若    2 2  f a x b f x ，则函数图象关于  ,a b 对称； 二、典例分析： 考点 1 求函数的单调区间 【例 1】（2022·全国·高一单元测试）函数   1 xf x x   的单调增区间是（ ） A．  1， B．     1 1  ， ， C．      1 1 ，，， D．    1   1     （ ， ）（， ， ） 【变式 1-1】（2022·全国·高一课时练习）函数   2 1f x x  的单调递增区间是（ ） A．  , 3  B． 0,  C．  3,3 D．  3,  【变式 1-2】（2022·全国·高一单元测试）函数   2 2 5f x x x   的单调增区间是（ ） A．  , 1  和  0,1 B．  , 1  和  1, C． 1,0 和 1, D．( )1,0- 和  0,1 考点 2 定义法证明函数的单调性 【例 2】（2022·全国·高一单元测试）已知函数   2f x x x  .判断 ( )f x 在区间  0,  上的单调性，并用定义法 证明. 【变式 2-1】（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）已知函数  f x 满足  1f x x a   ，且  1 1f  . （1）求 a和函数  f x 的解析式； （2）用定义法证明  f x 在其定义域的单调性. 【变式 2-2】（2020·陕西·榆林市第十中学高三期中（理））已知   