专题三 均值不等式-山东省东营市第一中学2022-2023学年高一数学寒假作业

高一第一学期数学专题复习（三） 均值不等式 一、知识结构： 1基本不等式：V历<“ (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0: (2)等号成立的条件：当且仅当α=b时取等号； (3)其中a十称为正数4，b的算术平均数，√ab称为正数a,b的几何平均数. 2 2.两个重要的不等式. (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号： (2)ah≤（生）a4∈R)当且仅当a-6时取等号。 3.利用基本不等式求最值. 已知x≥0，y≥0，则： (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2√争（简记：积定和最小）； (2)如果和x十y是定值s,那么当且仅当x=y时，y有最大值是（简记：和定积最大）. 二、基础性题组： 1.给出下列结论，其中正确的是 个不等式a2+b2≥2ab与a,b≥ab成立的条件是相 B函数y=x+的最小值是2 C.函数y=V收2+2+的最小值是2 D.xy>0是2+y≥2的充要条件 y x 2.(2020·上海卷)下列不等式恒成立的是 A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab C.a+b≥-2√Tab D.a+b≤2w√Tab 3.(多选)(2020·山东卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( A.a2+b≥2 R2->号 C.log2a+log2b≥-2 D.√a十√b≤2 生(2018·回川卷)已知函数f)=4红+号（：>0a>0)在x=3时取得最小值，则a= 三、典例回扣： 例1已知a>0b>0,a+6=1,求后+名的最小值. 【解标1田当>0，b>0,a十b=1,所以后十6=。+6=2+2+6≥2+22·8=4 ab a b a b 即+名的最小值为4，当且仅当a=6=号时等号成立 变式1若条件不变，求(1+。)(1+方)的最小值， 变式2(1)若正数x,y满足x十3y=xy,则3x+4y的最小值是 (2)若正数x,y满足x+3y=xy+2,则3x+4y的最小值是 例2某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆 数，单位：辆/h)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：m/s)、平均车长1（单位：m)的值 有关，其公式为F=0+180+200 76000v (1)如果不限定车型，1=6.05，则最大车流量为 辆/h; (2)如果限定车型，1=5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/h. 变式1提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧 道内的车流速度o(单位：km/h)和车流密度x(单位：辆/km)满足关系式：v= 50, 0<x≤20， k∈R).研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/km时会造成堵塞， 60-140-x'20<x≤120 此时车流速度是0k/h.隧道内的车流量y(单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/h)满足y=xv, 求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/h),并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/km). 变式2如图，某人准备在一块占地面积为1800m的矩形地块中间建 三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1m的小路，大棚总占地面积为Sm, 其中a:b=1:2,则S的最大值为」 ym 【解析】由题意可得xy=1800,b=2a,x>3,y>3,则y=a+b+3= 3a+3.所以S=(x-2Da+(x-3)6=(3x-8)a=(8r-8)'写3-1808- 3 xm 3x-号y=1808-8r-号×10=1808-(3r+409) ≤1808- 变式2图 x 2·=103-240-158,当且仅当3-1，即-10y-5时等号院立5取得袋大 值，所以当x=40,y=45时，S取得最大值为1568. 四、基础性巩固： 1.设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“a<b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2若a6c都是正数，且a十b十(=2.则千十6十的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.6 3.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是 A.a+6+1≥22 B.2a6 √ab a+6≥a6 Ca+6 ≥a+b vab Da+b(位+8)≥4 4.正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是 ,a+b的取值范围是 五、综合性题组： 1丽数)=计的最小值为 ( A.3 B.4 C.6 D.8 2.若x>0,y>0,则x+2y=2√2xy的一个充分不必要条件是 A.x=y B.x=2y C.x=2且y=1 D.x=y或y=1 3.若正数m,n满足2m十n=1,则十的最小值为 A.3+2√2 B.3+√2 C.2+2W2 D.3 4.已知正数x,y满足3xy+y2一4=0，则3x+5y的