11.2 第1课时 正弦定理 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

11．2　正弦定理 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2.掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题． 重点 难点 重点：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题． 难点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明. 第1课时　正弦定理 1．正弦定理 文字语言 三角形的各边和它所对角的正弦的比相等 符号语言 ＝＝ 2．正弦定理的常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝＝. (5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B. 对正弦定理的理解 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系． (4)主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化． 1．(多选)有关正弦定理的叙述正确的是(　　) A．正弦定理只适用于锐角三角形 B．正弦定理不适用于钝角三角形 C．在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值 D．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 解析：选CD　正弦定理适用于任意三角形，故A、B均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故C正确；由比例性质和正弦定理可推知D正确． 2．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　) A．5　　　　　　　　 B．10 C. D．5 解析：选B　由正弦定理得，b＝＝＝10. 3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　) A. B. C. D. 解析：选A　由于＝，故＝， 解得sin B＝. 4．在△ABC中，a＝5，b＝5，A＝30°，则B＝________. 解析：由正弦定理，＝，得sin B＝＝.∵b>a，∴B>A，且0°<B<180°，∴B＝60°或120°. 答案：60°或120° ————————————————————————————————— 已知两角与任意一边解三角形 ————————————————————————————————————— [典例]　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b.　　 [解]　∵A＝45°，C＝30°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°. 由正弦定理＝， 得a＝＝＝10. ∵sin B＝sin 105°＝sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝， ∴由正弦定理＝， 得b＝＝20×＝5＋5. 已知两角及一边解三角形的策略 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． [提醒]　若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．　　 [对点训练] 1．在△ABC中，a＝26，cos A＝，cos B＝，则b等于(　　) A．72　　　　　　　　　 B．18 C. D．30 解析：选D　因为cos A＝，所以sin A＝＝.同理得sin B＝.由正弦定理＝，得b＝＝＝30. 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c. 解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由正弦定理＝， 得b＝＝＝4. 易得sin C＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝， 由正弦定理＝，得c＝＝＝＝4(1＋)． ————————————————————————————————— 已知两边与其中一边的对角解三角形 —————————————————————————————————————— [典例]　已知△ABC中的下列条件，判断△ABC是否有解，有解的解三角形． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)b＝10，c＝5，C＝60°； (3)a＝2，c＝，A＝45°. [解]　(1)由正弦定理，得＝，即sin B＝2sin 80°>