9.3.2 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9．3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.借助于平面直角坐标系，理解向量坐标的概念． 2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则． 3．会用坐标表示平面向量的加法和减法及数乘运算． 重点 难点 重点：掌握向量和、差、数乘运算法则． 难点：理解向量坐标的概念. (一)向量的坐标表示 1．向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x, y)，使得a＝xi＋yj. 我们把有序实数对(x, y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x, y)． 2．始点为原点的向量坐标与其终点坐标的关系 如图，作＝a，即有＝xi＋yj，则的坐标(x, y)就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,_y)就是向量的坐标． 1．已知＝(2,3)，则点N位于(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 答案：D 2．下图中向量a的坐标为________． 答案：(2,3) (二)向量线性运算的坐标表示 文字叙述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 向量的坐标 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． (2)当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标． (3)由向量坐标的定义知，相同的向量的坐标一定相同，但是相同的向量的起点、终点的坐标可以不同．也就是说，两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔ 1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　　) A．(－2,1)　　　　　 B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) 答案：B 2．已知＝a，且A，B，若λ＝，则λa等于(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　∵a＝＝－ ＝，∴λa＝a＝. 3．已知点A(2，－2)，点B(4,1)，则向量＝________. 答案：(2,3) ————————————————————————————————— 平面向量的坐标表示 ————————————————————————————————————— [典例]　如图所示，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形，求向量a，b的坐标． 　 [解]　过点A作AM⊥x轴于点M(图略)， 则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2， AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， ∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3， ∴C，∴＝＝， 即b＝. 求平面向量坐标的方法 (1)若i，j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，则当a＝xi＋yj时，向量a的坐标即为(x，y)． (2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． (3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标．解题时，常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．　　 [对点训练] 如图，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________. 解析：由题图可知，＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)． 由正方形的对称性可知，B(1，－1)， 所以＝(1，－1)．同理，＝(－1,1)． 答案：(1，－1)　(1,1)　(－1,1) —————————————————————————————————— 平面向量的线性运算的坐标表示 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12)