9.2.3 向量的数量积 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9．2.3　向量的数量积 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求向量的投影． 3．理解向量数量积的运算律，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，并会表示向量的夹角与模． 重点 难点 重点：求平面向量的数量积及向量的模、夹角． 难点：理解投影向量的意义及应用平面向量数量积解决问题. (一)向量的数量积 1．向量的数量积 定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a与b的数量积 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为 2．三个常用结论 (1)cos θ＝(θ为非零向量a与b的夹角)． (2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)． (3)a·a＝|a|2或|a|＝. 两个向量的数量积是两向量之间一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点： (1)两个向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． (2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a，b的乘积ab(或a·b)是不同的． (3)在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即对任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0. 1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·b＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C．1＋ D．2 答案：A 2．已知|a|＝7，则a·a＝_________. 答案：49 3．已知向量|a|＝2，|b|＝5，若a⊥b，则a·b＝________. 答案：0 (二)投影向量及向量数量积的运算律 1．投影向量的定义 设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1―→称为向量a在向量b上的投影向量，且＝ 2．向量数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 3．向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 4．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)当a与b同向时a·b＝|a||b|，当a与b反向时a·b＝－|a||b|. (3)|a·b|≤|a||b|，当且仅当向量a，b共线，即a∥b时等号成立． 向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别 向量的数量积 向量的数乘 实数的乘法 a·b＝0⇒a，b至少有一个为0或a与b的夹角为 λa＝0(λ∈R)⇒λ＝0或a＝0 ab＝0⇒a，b至少有一个为0 a·b＝b·c⇒b＝0或a＝c或b与a－c的夹角为 λa＝λb(λ∈R)⇒a＝b或λ＝0 ab＝bc⇒a＝c或b＝0 (a·b)·c与a·(b·c)不一定相等 (λm)a＝λ(ma)(λ∈R，m∈R) (ab)c＝a(bc) 1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，e是与b同向的单位向量，则向量a在向量b上的投影向量是(　　) A．－4e　　　　　　　 B．4e C．－2e D．2e 解析：选A　设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－＝－，则向量a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝6×e＝－4e. 2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　　　　　　 B．3 C．2 D．0 解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b. ∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3. ————————————————————————————————— 求向量的数量积 —————————————————————————————————————— [典例]　已知向量a与b的夹角为θ，|a|＝5，|b|＝4，分别求在下列条件下的a·b. (1)θ＝120°； (2)a∥b； (3)a⊥b. [解]　(1)因为|a|＝5，|b|＝4，θ＝120°，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝5×4×＝－10. (2)因为a∥b，所以θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b＝|a|·|b|cos 0°