9.1 向量概念 （Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

　 9．1　向量概念 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解向量的实际背景，了解向量的意义． 2．理解向量的几何表示和基本要素． 3．理解共线向量和相同的向量及相反向量的含义． 重点 难点 重点：理解向量的有关概念及向量的几何表示． 难点：理解向量共线、相同的向量的概念. (一)向量的相关概念及其表示 1．向量的有关概念 定义 既有大小又有方向的量称为向量 表示 方法 几何表示 向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为 字母表示 用小写字母a，b，c表示 (1)数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、零来表示，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等． (2)向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． (3)向量只有长度和方向两个要素，与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量． 2．向量的长度(或称模)与特殊向量 向量的 长度 定义 向量的大小称为向量的长度 表示 向量，a的长度分别记作：||，|a| 特殊 向量 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 (1)要注意0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且|0|0. (2)零向量、单位向量的定义中都只限制长度，不确定方向． (3)当有向线段的起点A与终点B重合时，＝0. (4)在同一平面内，将所有单位向量的起点平移到同一个点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆． 1．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有(　　) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 2. 如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量． 答案：12 (二)三种特殊向量及向量的夹角 1．平行向量 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，平行向量又称为共线向量． (1)记法：向量a平行于b，记作a∥b. (2)规定：零向量与任一向量平行． 2．相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，若a与b是相同的向量，也称a与b相等，记作a＝b. 3．相反向量 把与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作－a，a与－a互为相反向量，即对任意一个向量，总有－(－a)＝a. 规定零向量的相反向量仍是零向量． 4．向量的夹角 条件 两个非零向量a和b 产生过程 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角 范围 0°≤θ≤180° 特殊情况 θ＝0° a与b同向 θ＝180° a与b反向 θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b (1)理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的． (2)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相同的向量的关系，即共线向量不一定是相同的向量，而相同的向量一定是共线向量． (3)对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零向量的讨论． (4)向量相等具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量． 1．下图中与向量a相等的向量是(　　) A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c 答案：D 2.如图，在平行四边形ABCD中，与共线的向量有_____________． 答案： ， ， 3．在等边三角形ABC中，与的夹角为________． 答案：120° —————————————————————————————————— 向量有关的概念 ————————————————————————————————————— [典例]　判断下列命题是否正确． (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； (2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行； (5)若向量a与向量b平行，则向量a与b方向