第二讲椭圆焦半径与焦点弦3(用焦半径的角参公式解题)讲义-2023届高考数学二轮专题之椭圆小题突破

2023年高考数学复习 椭圆小题突破 椭圆的焦半径和焦点弦 椭圆的焦半径和焦点弦3――用焦半径的角参公式解题 知识点： （1） 若F为椭圆的右焦点，设∠AFx=θ, （2）若F为椭圆左焦点， 3．（1）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过左焦点F(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点A，以FA，FO为邻边作平行四边形OFAB，若点B在椭圆上，则b2等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 法一：坐标法 以，为邻边作平行四边形，则且. 所以轴，所以两点关于轴对称，又 设，则， 由条件可得直线的方程为 所以,即 由点在椭圆上可得，，又 代入得，整理得： 解得 法二：焦半径坐标形式 ,a+ex0=2, a-e=2，a-， 法三：焦半径角参形式 （2）已知椭圆C：的右焦点为F，直线l：x=2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若 ＝3，则|＝(　　) A． B．2 C． D．3 【答案】A 法一：坐标法 根据题意作图：设点，． 由椭圆C： ，知，，， 即，所以右焦点F(1,0)． 由，得．所以，且.所以，. 将x0，y0代入，得.解得， 所以. 法二：焦半径角参形式 法三：焦半径坐标形式 A(2,n),B(x0,y0)，F(1,0), ＝3(1,n)=3(x0-1,y0)，1=3x0,n=3y0, || ＝3 9x02-18x0+8=0 (3x0-4)(3x0-2)=0 x0= || ＝3. （3）如图，椭圆的左焦点为F，点P在y轴上，线段FP交椭圆于点Q．若OQ⊥FP，|FP|=3|FQ|，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 法一：坐标法 由题意得，设，因为，所以，得， 因为，所以，所以， 因为在椭圆上，所以，化简得，， 因为，所以， ，得，解得或（舍去） 法二：焦半径坐标形式 Q(x0,y0)，F(c,0), |FQ|＝m, =3m， a+ex0 a+e(-) 1-e 2e (2e e 法三：焦半径角参形式 设FQ＝x，则 （4）不经过椭圆E：的焦点的直线l:y=kx+m(km<0)与以坐标原点为圆心､为半径的圆相切，且与椭圆E交于M,N两点，试判断△MFN的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 法一：用弦长公式求弦长 由题意，，即圆心到直线的距离为， 则， ， 设， 由，得， 由，得， 则 又 周长， 周长为定值 法二：用圆的切线求弦长 设直线l与圆的切点为M， 周长为定值 （5）（2018全国Ⅲ20） 已知斜率为k的直线l与椭圆C: 交于A,B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)． （Ⅰ）证明：k<-； （Ⅱ）设F为C的右焦点，P为C上一点,且．证明：成等差数列，并求该数列的公差． （Ⅰ）法一：设点A，，直线AB的方程为y=kx+t. 由，得(3+4k2)， △＝64(3+4k2)，（※） +，， =1，得-t, 代入（※）得()2-3-4k2<0, 即-k2<0, 即16k4+8k2-3>0, 即(4k2-1)(4k2+3)>0, 即4k2-1>0, k<-. 又M(1,m)(m>0)在直线AB：y=kx+t上，所以m=t+k>0. 而-t 所以k<-. 法二：设，则. 两式相减，并由得 . 由题设知，于是 .① 由题设得，故. （Ⅱ）设点A，，P . 且+ 由 P(1,± ) 又y1+y2+y0=0，y1+y2=2m，所以m=- P(1,- ) |AF|====|2- |= 2- , 同理|BF|=2- ，|PF|= 2- ＝ . 所以=4- =3， 2|PF|=3. 所以成等差数列. 设该数列的公差为d，则 .② 将代入①得. 所以l的方程为，代入C的方程，并整理得. 故，代入②解得. 所以该数列的公差为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $