第一讲用椭圆定义解题4(两个焦点三角形)讲义-2023届高考数学二轮专题之椭圆小题突破

2023年高考数学复习 椭圆小题突破 用椭圆定义解题 用椭圆定义解题4――两个焦点三角形 4．（1）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|=|PA|，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，点在椭圆上，所以， 由，代入上式得， 在，， 又，所以， 即， （2）F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为　　　　　． [解析]　如图所示，设|PF1|＝m，则|PQ|＝m，|F1Q|＝m.由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a. 所以|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a. 即(＋2)m＝4a. 所以m＝(4－2)a. 又|PF2|＝2a－m＝(2－2)a.在Rt△PF1F2中， |PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2. 即(2－2)2a2＋(4－2)2a2＝4c2. 所以＝9－6＝3(－1)2. 所以e＝＝－. （3）　设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若△AF1F2的面积是△BF1F2的三倍,cos∠AF2B=,则椭圆E的离心率为 (　　) [解析] D　设|F1B|=k(k>0),依题意可得|AF1|=3k,则|AB|=4k,∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.∵cos∠AF2B=,在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B,∴(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a-3k=0,即a=3k,∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,∴AF1⊥AF2,∴△AF1F2是等腰直角三角形,∴c=a,∴椭圆E的离心率e==,故选D. （4）如图所示，点F是椭圆M:+=1(a>b>0)的右焦点，A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线AF与椭圆的另一个交点为B，若AF⊥FC,|AF|=2|BF|，则椭圆M的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，作为椭圆M的左焦点，连接．设， 则，，， 因为A，C是椭圆上关于原点O对称的两点，直线与椭圆的另一个交点为B，，所以 所以可得． （5）已知椭圆+=1(a>b>0)，F1,F2为其两焦点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与y轴交于C点，若|F1C|=|F1B|=|F1A|，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，记， 由椭圆的定义可得，，， 又 ，所以； ， 所以， 则，即， 所以离心率为. （6）椭圆C：的左、右焦点分别是F1,F2，斜率为1的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△AB F2的内切圆的面积是π，若椭圆C离心率的取值范围为[,]，则线段AB的长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 , ，， ，，则， 即线段的长度的取值范围是. （7）已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以可得，又因为， 所以可得，即为短轴的顶点， 设为短轴的上顶点，，，所以， 所以直线的方程为：， 由题意设椭圆的方程为：，则， 联立，整理可得：，即，可得， 代入直线的方程可得， 所以， 因为，所以，整理可得：， 解得：，可得，所以椭圆的方程为：， 法二：，所以可得，又因为， 所以可得，即为短轴的顶点， 学科网（北京）股份有限公司 $