第一讲用椭圆定义解题2(较复杂的几何关系)讲义-2023届高考数学二轮专题之椭圆小题突破

2023年高考数学复习 椭圆小题突破 用椭圆定义解题 用椭圆定义解题2――较复杂的几何关系 2.（1）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一点，|PF1|=λ|PF2|(1≤λ≤3)，∠F1PF2＝，，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 由椭圆定义知：…①， ，…②， 由①②可得：， 设，，， 则， 当时，；当时，； ，解得：. （2）已知点P为椭圆上的任意一点，点F1，F2分别为该椭圆的上下焦点，设α＝∠PF1F2，β＝∠PF2F1，则sinα+sinβ的最大值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点， 由正弦定理可得，即有， 由椭圆定义可得e,∴． 在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大， ∴=,∴ （3）设椭圆C：的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当R＝4r时，椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c， 根据正弦定理可得2R＝＝＝， ∴R＝，r＝R＝． 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a， 由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn，∴mn＝， ∴＝mnsin＝，又＝(m+n+2c)•r＝， ∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0， 解得：e＝或e＝﹣1（舍）． （4）设椭圆C：的焦点为F1，F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点P与△PF1F2的内切圆圆心I的直线交x轴于点Q，且，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接、，是的内心，可得、分别是和的角平分线， 由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点， 则为的角平分线，则到直线、的距离相等， 所以，，同理可得，， 由比例关系性质可知． 又因为，所以椭圆的离心率， （5）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使得∠F1PF2＝120°，且△F1PF2内切圆的半径大于a，则C的离心率的取值范围是　　　　. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，内切圆的半径为r． 因为，所以， 则． 由等面积法可得， 整理得，又 故．又，所以则，从而． （6）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个， 设是第一象限内使得为等腰三角形的点， 若，则，又，消去整理得： ，解得(舍去)或， 同得，所以，即， 若，则，又，消去整理得： ，解得或，舍去． 所以，所以，即， 时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意． 综上，的范围是． 法二：，则2c>2a-2c且4c>2a-2c，得 ，则2a-2c >2c且4c>2a-2c，得 （7）已知椭圆方程为，是上､下顶点，为椭圆上的一个动点，且的最大值为120°，若，则的最小值为（ ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，椭圆焦点在轴上，且当为左右顶点时，取最大值为120°， 则，又，则， 又为椭圆焦点，则， 则 ， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为. （8）已知椭圆，为其左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足,的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率=_____ 【答案】##0.5 【分析】由题意得为的重心，设，由重心坐标公式可得的纵坐标，由可得内心的纵坐标与相同，然后利用的面积等于被内心分割而成的三个小三角形的面积之和建立的等式，从而可得离心率． 【详解】设， ∵， ∴， ∴G为的重心， ∴G点坐标为． ∵， ∴轴， ∴I的纵坐标为． 在中，， ∴． 又I为的内心， ∴I的纵坐标即为内切圆半径． 由于I把分为三个底分别为的三边，高为内切圆半径的小三角形， ∴， ∴ 即， ∴， ∴椭圆C的离心率． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $