7.2.2 复数的乘、除运算（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

7.2.2　复数的乘、除运算 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握复数的乘法和除法运算法则． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 重点难点 重点：掌握复数的乘法和除法运算法则和虚数单位i幂值的周期性． 难点：运用复数四则运算求解与复数有关问题. 1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 (1)复数的乘法与多项式的乘法类似，不同点是在所得结果中把i2换成－1，再把实部虚部分别合并． (2)实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如： ①当z∈R时，有|z|2＝z2；当z∈C时，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能进行比较．例如，当z＝1＋i时，|z|2＝2，z2＝2i，此时2和2i不能进行比较． ②当m，n∈R时，有m2＋n2＝0⇔m＝n＝0；当z1，z2∈C时，z12＋z22＝0⇒/ z1＝z2＝0，但z1＝z2＝0⇒z12＋z22＝0. 需注意：z1z2＝0的充要条件是z1＝0或z2＝0.依据复数的乘法运算可得z1z2＝0⇔|z1z2|＝0⇔|z1||z2|＝0⇔z1＝0或z2＝0. 2．复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)， 则＝＝＋i. 复数的除法的实质是分母“实数化”．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共轭复数． (1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，所以一般不能直接约分化简． (2)复数除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(a＋bi)÷(c＋di)＝ ＋i. (3)分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与作根式除法时的分母“有理化”的处理是类似的． 1．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　 ) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析：选D　(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i. 2．复数等于(　 ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析：选A　＝＝＝＝1＋i. 3．复数的实部为(　 ) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析：选A　∵＝＝＝i，∴实部为0. ———————————————————————————————— 复数的乘法运算 ———————————————————————————————————— [典例]　计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [解]　(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2 ＝1－i2＋4＋4i＋i2＝5＋4i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 1．两个复数乘法运算的一般步骤 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i2换成－1； (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．　　 [对点训练] 　计算： (1)(3＋i)(5＋4i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1－i)2. 解：(1)(3＋i)(5＋4i) ＝(11＋17i) ＝－i. (2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. (3)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i. —————————————————————————————————— 复数的除法运算 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)＝(　 ) A．1＋2i　　　　　　　　 B．1－2i C．2＋i D．2－i (2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝(　 ) 　　 [解析]　(1)＝＝＝2