7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数表示式的加、减运算法则． 2.理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． 重点难点 重点：掌握复数的加、减运算法则． 难点：了解复数的加、减运算的几何意义. (一)复数加法与减法的运算法则 1．复数加法、减法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数的加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．对复数的加法法则的理解 (1)两个复数相加，类似于两个多项式相加：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数．但是两个虚数之和不一定是一个虚数，如(－i)＋i＝0. (2)当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和． (3)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加． 2．对复数的减法法则的理解 (1)两个复数相减，类似于两个多项式相减：把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可以了． (2)很明显，两个复数的差是一个确定的复数．但是两个虚数之差不一定是一个虚数，如(3＋2i)－2i＝3. 1．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为(　 ) A．1　　　　　　　　　 B．－i C．5＋2i D．1－i 答案：A 2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(　 ) A．0 B．6i C．6 D．6－6i 答案：D 3．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2? 提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小． (二)复数加、减法的几何意义 复数加 法的几 何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数 复数减 法的几 何意义 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 ①复数的加(减)法可以按照向量的加(减)法来进行． ②复数减法的几何意义也可叙述为连接表示两个复数对应的向量的有向线段的终点，方向指向表示被减向量的有向线段的终点的向量，就是这两个复数的差对应的向量． 1．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．平面内，z1－z2对应的点在(　 ) A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限． 2．类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？ 提示：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内的点Z到点Z0的距离． —————————————————————————————————— 复数的加、减运算 ——————————————————————————————————————— [典例]　(1)计算：＋(2－i)－； (2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z. [解]　(1)原式＝＋i＝1＋i. (2)法一：因为z＋1－3i＝5－2i， 所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 因为z＋1－3i＝5－2i， 所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i， 即x＋1＝5且y－3＝－2， 解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i. 复数的加、减法运算技巧 (1)复数的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部． (2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减． (3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．　　 [对点训练] 计算： (1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)； (2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)． 解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i. (2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5－…－2 010＋2 011－2 012)i＝1 006－1 007i. —————————————————————————————————— 复数加、减运算的几何意义 ———