7.1.1 数系的扩充和复数的概念（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

　 第七章 复　数 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，通过方程的解认识复数． 2.理解复数的代数表示，掌握两个复数相等的充要条件及应用． 重点难点 重点：掌握复数的分类及复数相等的含义． 难点：理解复数的概念、表示法. (对应学生用书P) (一)复数的概念及复数集 1．复数的定义及表示方法 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． (2)表示方法：复数通常用字母表示，即z＝a＋bi. 2．复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示． (1)z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是b，不是bi. (2)虚数单位i性质的关注点 i2＝－1的理解：并没有规定i＝±还是i＝或i＝－，在今后的学习中，我们将知道＝±i但不能说i＝±. 1．下列说法正确的是(　 ) A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等 B．ai是纯虚数(a∈R) C．如果复数x＋yi(x，y∈R)是实数，那么x＝0，y＝0 D．复数a＋bi(a，b∈R)不是实数 解析：选A　两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，故A正确；B中，当a＝0时，ai＝0是实数，故B错误；要使复数x＋yi(x，y∈R)是实数，只需y＝0，所以C错误；D中，当b＝0时，复数a＋bi是实数，故D错误． 2．复数i－1的虚部是(　 ) A．i　　　 B．－2　　　　C．1　　　　D．2 解析：选C　i－1＝－1＋i，因此虚部是1. (二)复数相等及复数的分类 1．复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. 2．复数的分类 (1)复数a＋bi (a，b∈R) (2)集合表示： (1)两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系． (2)a＝0是z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件． 1．复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数m的值是________． 解析：因为复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，所以m2－5m＋6＝0，m2－3m≠0，解得m＝2. 答案：2 2．若y为纯虚数，x为实数，且满足1＋y＝2x－1＋2i，则x＝________，y＝________. 解析：设y＝ai(a是不为0的实数)，则1＋ai＝2x－1＋2i，所以解得所以x＝1，y＝2i. 答案：1　2i ————————————————————————————————— 复数的概念 ————————————————————————————————————— [典例]　(多选)下列说法错误的是(　 ) A．复数2＋3i的虚部是3 B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数 [解析]　复数2＋3i的虚部是3，A正确；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，B错误；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，C错误；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确．故选B、C. [答案]　BC 判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般；先否定，后肯定”的方法进行解答． (2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．　　 [对点训练] 　(多选)下列命题正确的是(　 ) A．以2i－的虚部为实部，以i－2的实部为虚部的新复数是2－2i B．若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i C．若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2 D．实数集是复数集的真子集 解析：选AD　对于A,2i－的虚部为2，i－2的实部为－2，故所求复数为2－2i，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错误；对于C，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故C错误；显然，D正确． —————————————————————————————————— 复数的分类 ——————————————————————————————————————— [