6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握数乘向量的坐标运算法则，并会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2.能用坐标表示平面向量共线的条件，并会应用向量的共线条件解决问题． 重点难点 重点：能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法． 难点：理解用坐标表示两向量共线的条件. 1．平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，那么λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 2．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算． (3)a∥b⇔＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝(　 ) A．(5,7)　　　　　　 B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 解析：选A　因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)． 2．下列各对向量中，共线的是(　 ) A．a＝(2,3)，b＝(3，－2) B．a＝(2,3)，b＝(4，－6) C．a＝(，－1)，b＝(1，) D．a＝(1，)，b＝(，2) 解析：选D　A、B、C中各对向量都不共线，D中b＝a，两个向量共线． 3．已知＝a，且A，B，若λ＝，则λa等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　∵a＝＝－ ＝， ∴λa＝a＝. 4．已知a＝(－1,2)，b＝(3，y)，且a∥b，则y＝________. 解析：∵a∥b，∴－y－2×3＝0，解得y＝－6. 答案：－6 —————————————————————————————————— 平面向量数乘运算的坐标表示 —————————————————————————————————————— [典例]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标． [解]　法一：待定系数法 由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 可得＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)， 所以＝3＝3(1,8)＝(3,24)， ＝2＝2(6,3)＝(12,6)． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)， 解得x1＝0，y1＝20； ＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)， 解得x2＝9，y2＝2， 所以M(0,20)，N(9,2)， ＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)． 法二：几何意义法 设点O为坐标原点， 则由＝3，＝2， 可得－＝3(－)， －＝2(－)， 从而＝3－2， ＝2－， 所以＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)， ＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)， 即点M(0,20)，N(9,2)， 故＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)． 利用向量线性运算的坐标表示解题的基本思路 (1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解． (3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出相应系数．其中体现方程思想的运用．　　 [对点训练] 1．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　 ) A．(－23，－12)　　　　　 B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) 解析：选A　∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)． 2．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，试用向量a，b表示向量c. 解：设c＝pa＋qb(p，q∈R)， ∵a＝(－1,2)，b＝(1，－1)， ∴c＝pa＋qb＝p(－1,2)＋q(1，－1)＝(－p＋q,2p－q)． 又∵c＝(3，－2)，∴解得故c＝a＋