6.3.2 & 6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．3.2 & 6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2.理解向量坐标的概念，会用坐标表示平面向量的加法和减法运算． 重点 难点 重点：掌握向量加、差运算的坐标表示． 难点：理解向量坐标的概念. (一)平面向量的正交分解及坐标表示 1．正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底． (2)坐标：对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．其中，x叫做a在轴上的坐标，y叫做a在轴上的坐标． (3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量a的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0(0,0)． 3．向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量的坐标．这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系． 点的坐标与向量的坐标 (1)向量的坐标与点的坐标有区别，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标才与其终点的坐标相等．如：点A的位置向量的坐标(x，y)，也就是点A的坐标(x，y)；反之，点A的坐标(x，y)也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)，或向量(x，y)． (3)给定一个向量，它的坐标是唯一的，给定一对实数，由于向量可以平移，以这对实数为坐标的向量有无穷多个． (4)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同． 1．判断正误 (1)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量的终点坐标．(　 ) (2)点的坐标与向量的坐标相同．(　 ) (3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知＝(2,3)，则点N位于(　 ) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 答案：D 3．如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________. 答案：(－4,0)　(0,6)　(－2，－5) (二)平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． (2)由向量坐标的定义知，相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．也就是说，两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔ 1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　 ) A．(－2,1)　　　　　 B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) 答案：B 2.如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为(　 ) A．(3,4) B．(2,4) C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4) 答案：A 3．已知点A(2，－2)，点B(4,1)，则向量＝________. 答案：(2,3) —————————————————————————————————— 平面向量的坐标表示 ————————————————————————————————————— [典例]　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b，四边形OABC为平行四边形，求向量a，b的坐标． 　 [解]　过点A作AM⊥x轴于点M(图略)， 则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2， AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， ∴A(2，2)，故a＝(2，2)． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3， ∴C，∴＝＝， 即b＝. 求平面向量坐标的方