6.2.4 向量的数量积（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．2.4　向量的数量积 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，会求投影向量． 3.理解向量数量积的运算律，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，并会表示向量的夹角与模． 重点难点 重点：平面向量的数量积． 难点：投影向量的概念. (一)两向量的夹角与数量积 1．平面向量的夹角 条件 已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点 产生过程 作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角 范围 [0，π] 特殊情况 θ＝0 a与b同向 θ＝π a与b反向 θ＝ a与b垂直，记作a⊥b 2．向量的数量积 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为 两个向量的数量积是两向量之间一种新的乘法，与实数的乘法是有区别的，注意区分以下几点： (1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． (2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a，b的乘积ab(或a·b)是不同的． (3)在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即对任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0. 1．在锐角三角形ABC中，下列说法正确的是(　 ) A．与的夹角是锐角 B．与的夹角是锐角 C．与的夹角是钝角 D．与的夹角是锐角 答案：B 2．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝(　 ) A.　　　　　　　　 B. C．1 D．－ 解析：选A　a·b＝1×1×cos 60°＝. (二)投影向量 1．投影向量的定义如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1―→叫做向量a在向量b上的投影向量． 2．投影向量公式 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. (1)向量a在b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦值决定． (2)向量a在b上的投影向量可表示为·. (3)a在b上的投影向量与b在a上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cos θ. 1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，e是与b同向的单位向量，则向量a在向量b上的投影向量是(　 ) A．－4e　　　　　　　 B．4e C．－2e D．2e 解析：选A　设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－＝－，则向量a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝6×e＝－4e. 2．已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为，则a在e上的投影向量是________． 解析：a在e上的投影向量是|a|cose＝4×e＝－2e. 答案：－2e (三)平面向量数量积的性质和运算律 1．数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a，b同向时，a·b＝|a||b|；当a，b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 2．平面向量数量积的运算律 交换律 a·b＝b·a 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c (1)掌握2个易错点 ①向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b. ②(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． (2)细解数量积的性质及其应用 ①利用性质(1)可以解决有关向量的投影问题； ②利用性质(2)可以解决有关两向量的垂直问题； ③性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模； ④利用性质(4)可以建立不等式，处理有关求取值范围、函数最值及证明不等式等问题． 1．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命