6.2.2 向量的减法运算（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6．2.2　向量的减法运算 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的概念和向量减法的运算以及向量减法的几何意义． 2.掌握平面向量的减法运算、三角形和平行四边形法则及减法运算律． 重点难点 重点：向量的减法运算及向量的减法法则． 难点：向量减法的几何意义. (对应学生用书P) (一)相反向量 定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 －(－a)＝ 零向量的相反向量仍是零向量 a＋(－a)＝(－a) ＋a＝0 如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0 (1)相反向量仍具备两个要素：方向与长度． (2)相反向量可以为向量的“移项”提供依据．利用(－a)＋a＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．例如由a＋b＝c＋d可得a－c＝d－b. 1．若非零向量m与n是相反向量，则下列说法不正确的是(　 ) A．m＝n　　　　　　　　 B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 解析：选A　因为m与n的方向相反，所以m与n不相等． 2．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________． 答案：， 3．相反向量与相反数一样吗？ 提示：不一样，相反数是两个数符号相反，绝对值相等，相反向量是指两个向量方向相反，模相等． (二)向量的减法运算及其几何意义 定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝ ，如图所示 几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 1．对向量减法的三点说明 (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝，就可以把减法转化为加法． (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点． (3)向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆． 2．向量加法和减法几何意义的联系 (1)如图，平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b. (2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 1．判断正误 (1)两个相等向量之差等于0.(　 ) (2)两个相反向量之差等于0.(　 ) (3)两个向量的差仍是一个向量．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．化简－＋所得的结果是(　 ) A． B． C．0 D． 解析：选C　－＋＝＋＝0.故选C. 3.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　 ) A．a－b＋c　　　　 B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c 解析：选A　＝＋＋＝－＋＝a－b＋c. ————————————————————————————————— 向量的减法及其几何意义 ————————————————————————————————————— [典例]　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 　　　 [解]　法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c， 则＝a＋b－c. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. [拓展] 　若本例条件不变，求作向量a－b－c. 解：如图，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，则＝a－b. 再作＝c，则＝a－b－c. 求作两个向量的差向量的2种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． (2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．　　 [对点训练] 　如图所示， O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作： (1)向量b＋c－a； (2)向量a－b－c. 解：(1)法一： 如图，以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c， ＝－＝b＋c－a. 法二：如图，作＝＝b， 连接AD， 则＝－＝c－a， ＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a. (2)法一：a－b－c＝a－(b＋c)， 如图，以，为邻边作▱OBEC，连接OE， 则＝＋＝b＋c， 连接AE， 则＝a－(b＋c)＝a－b－c. 法二：由a－b－c＝－(b＋c－a)，与(1)中向量成相反向量，∴＝－(b＋c－a)＝a－b－c. ————————————————————————————————— 向量的减法运算 ———————————————————————————