6.2.1 向量的加法运算（Word教参）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（人教A版2019）

6.2.1　向量的加法运算 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解并掌握向量加法的概念及向量加法的几何意义． 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算． 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性． 重点 难点 重点：向量的加法运算及向量的加法法则． 难点：向量加法的几何意义. (一)向量加法的定义及运算法则 1．向量的加法定义及三角形法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 三角形法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，连接AC 结论 向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 2.向量加法的平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O 作法 作＝a，＝b.以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b 结论 以O为起点的向量就是a与b的和 图形 规定 零向量与任意向量a的和都有a＋00a＝a (1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法 则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． (2)三角形法则与平行四边形法则的适用条件 　　　 　　　 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况 两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同 1.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　 ) A．　　 　　　　　 B． C． D． 解析：选C　设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a，由a和长度相等，方向相同，得a＝，即＋＝. 2．在矩形ABCD中，＋＝________. 答案： (二)向量加法的运算律 交换律 结合律 a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立． (2)我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量a，再走过的位移为向量b，方案②先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a，则方案①②中质点A一定会到达同一终点． (3)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)． (4)|a＋b|与|a|，|b|的关系 ①当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.②当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.③当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|. 1．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为(　 ) A．2　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析：选D　由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a＋b＋c相等． 2．(多选)下列各式的结果为0的是(　 ) A．＋＋ B．(＋)＋＋ C．＋＋＋ D．＋＋＋ 答案：AD ———————————————————————————————— 求作向量的和 ———————————————————————————————————— [典例]　(1)如图①所示，求作向量a＋b； (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c. [解]　(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． (2)法一： 三角形法则 如图a所示，首先在平面内任取一点O， 作向量＝a，再作向量＝b， 则得向量＝a＋b，然后作向量＝c， 则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二：平行四边形法则 如图b所示，首先在平面内任取一点O， 作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向